Question

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
cot4A + cot2A = cosec4A + cosec2A

Answer 1

Tenemos:

$ctg(4x)+ctg(2x)=csc(4x)+csc(2x)$

Quien te manda a hacer éstos ejercicio para más fáciles..jaja...

bueno, el propósito siempre es tratar de usar cosas básica y que podamos manejar fácilmente, para eso siempre debemos tratar de llevar todo a senos y cosenos.

Como lo mencioné, no es necesario que te aprendas varia fórmulas sino que sepas demostrarlas...me parece que en el ejercicio anterior también lo hice...pero bueno....consideremos la siguiente identidad 

$sin ^{2} (x)+cos ^{2} (x)=1$

dividamos todo por $sin ^{2} (x)$

$\frac{sin ^{2}(x) }{sin ^{2}(x) } + \frac{cos ^{2}(x) }{sin ^{2}(x) } = \frac{1}{sin ^{2}(x) } \\ \\ 1+ctg^{2} (x)=csc ^{2} (x)$

y obtuvimos ésta identidad que es la que vamos a usar...

entonces, cuando vamos a hacer demostraciones, podemos escoger de que lado salir en éste caso vamos a salir del lado derecho...e intentaremos llegar al lado izquierdo...

Supongamos que el signo haya sido positivo...entonces:

$csc ^{4} (x)+csc ^{2} (x) \\ (csc ^{2} (x)) ^{2} +csc ^{2} (x) \\ (1+ctg^{2}(x) ) ^{2} +(1+ctg^{2}(x) ) \\ (1+2ctg ^{2}(x)+ ctg^{4}(x) )+(1+ctg ^{2}(x) ) \\ 2+3ctg ^{2}(x) +ctg ^{4} (x)$

y no se cumpla la igualdad...

entonces debe ser negativo, probemos:

$csc ^{4} (x)-csc ^{2} (x) \\ (csc ^{2} (x)) ^{2} -csc ^{2} (x) \\ (1+ctg^{2}(x) ) ^{2} -(1+ctg^{2}(x) ) \\ (1+2ctg ^{2}(x)+ ctg^{4}(x) )-(1+ctg ^{2}(x) ) \\ ctg ^{2}(x) +ctg ^{4} (x)$

y ahí si, la igualdad se cumple, entonces seguramente copió mal tu profe....

en fin, eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas