Question

Demostrar identidad trigonométrica ​

Answer 1

Hola :D

Tenemos:

$\dfrac{\cot^{2} (\theta)-1}{1+\cot^{2}(\theta) }=2\cos^{2}(\theta) -1$

Voy a desarrollar la expresión del lado izquierdo, empecemos con su numerador.

Para ello tengamos en cuenta:

$\boxed{\cot^{2} (\theta)=\frac{\cos^{2}(\theta) }{\sin^{2}(\theta) } }$

$\dfrac{\cos^{2}(\theta) }{\sin^{2}(\theta) }-\dfrac{1}{1}$

Lo he puesto así para poder hacer el quebrado, lo cual queda:

$\dfrac{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2} (\theta) }{\sin^{2} (\theta)}$

Ahora, sólo para el numerador aplicamos lo siguiente:

$\boxed{\sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta)}$

Tendremos:

$\dfrac{\cos^{2}(\theta)-(1-\cos^{2}(\theta)) }{\sin^{2} (\theta)} \to\dfrac{2\cos^{2}-1 }{\sin^{2}(\theta) }$

Sólo nos falta el denominador, el cual es:

$1+\cot^{2}(\theta)$

Lo cual es una identidad que se deriva de la fundamental, tratemos de hallarla.

Primero, tenemos:

$\clubsuit \: \sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1$

Dividamos entre $\sin^{2} (\theta)$ toda la expresión:

$\dfrac{\sin^{2}(\theta) }{\sin^{2} (\theta)} +\dfrac{\cos^{2}(\theta) }{\sin^{2}(\theta) } =\dfrac{1}{\sin^{2} (\theta)} \\\Rightarrow \boxed{1+\cot^{2}(\theta)=\csc^{2}(\theta) }$

Listo, entonces, acomodamos todo lo que obtuvimos:

$\dfrac{\dfrac{2\cos^{2} (\theta)-1}{\sin^{2}(\theta) } }{\csc^{2}(\theta) } =2\cos^{2} (\theta)-1$

Por la resolución anterior sabemos que:

$\boxed{\csc^{2}(\theta)=\dfrac{1}{\sin^{2}(\theta) } }$

Por lo que tendremos:

$\dfrac{\dfrac{2\cos^{2}(\theta)-1 }{\sin^{2} (\theta)} }{\dfrac{1}{\sin^{2}(\theta) } } =2\cos^{2} (\theta)-1$

Aplicamos multiplicación de extremos y medios, lo cual tiene la forma:

$\boxed{\frac{\dfrac{a}{b} }{\dfrac{c}{d} }= \frac{ad}{bc} }$

Entonces:

$\dfrac{(2\cos^{2}(\theta)-1)\cancel{(\sin^{2} (\theta)) }}{\cancel{\sin^{2}(\theta)} }= 2\cos^{2}(\theta)-1 \\\boldsymbol{2\cos^{2}(\theta)-1=2\cos^{2}(\theta)-1}$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales AspR178 !!!!!