Question

Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.

Answer 1

Aplicando propiedades matemáticas se demuestra:

u•(v×w) = (u×v) •w

Explicación paso a paso:

Sean u y w en R³, y k un número escalar.  

u•(v×w) = (u×v) •w

u•(v×w)

= (u₁ u₂ u₃)•[(v₁ v₂ v₃)× (w₁ w₂ w₃) ]

Aplicar producto vectorial;

= (u₁ u₂ u₃)•(v₂w₃ - v₃w₂ ; v₁w₃ - v₃w₁ ; v₁w₂ - v₂w₁)

Aplicar producto escalar;

= [u₁ (v₂w₃ - v₃w₂) + u₂(v₁w₃ - v₃w₁) + u₃(v₁w₂ - v₂w₁)]

= u₁v₂w₃ - u₁v₃w₂ + u₂v₁w₃ -u₂v₃w₁ + u₃v₁w₂ - u₃v₂w₁

(u×v) •w  

= [(u₁ u₂ u₃)×(v₁ v₂ v₃)] •(w₁ w₂ w₃)  

Aplicar producto vectorial;

= (u₂v₃ - u₃v₂ ; u₁v₃ - u₃v₁ ; u₁v₂ - u₂v₁)•(w₁ w₂ w₃)  

Aplicar producto escalar;

= [(u₂v₃ - u₃v₂)w₁ + (u₁v₃ - u₃v₁) w₂ + (u₁v₂ - u₂v₁)w₃]

= u₂v₃w₁ - u₃v₂w₁ + u₁v₃w₂ - u₃v₁w₂ + u₁v₂w₃ - u₂v₁w₃

Se demuestra que son iguales;