Question

demostraciones de sumatoria

Answer 1

podria enseñarte como 3 formas

a) una geometricamente
b)una con progresion aritmetica
y

c) una con las propiedades de sumatoria

esta ultima la aplicare ya que creo que estas en este ramo y creo que es más ad ok



veamos algunas propiedades de las sumatorias


a)telescópica

sea

n
(A(i+1)-Ai)=A2 -A1+A3 -A2+..+An -A(n-1)+..
i=1

..+A(n+1) -An

se llega a

n
A(i+1)-Ai = A(n+1)-A1
i=1

b)

n
1 =1+1+1+1+..+1=n
i=1


ahora tomando en cuenta estas dos propiedades y recordando la formula del cuadrado del binomio


(i+1)^2 =i^2 +2i +1

esto lo podemos escribir como

(i+1)^2 -i^2 =2i +1

ahora haciendo la sumatoraia a lado de la igualdad tenemos

((i+1)^2 -i^2) =2*i + 1

al primer miembro le aplicamos la propiedad telescopica

entonces

n
((i+1)^2 -i^2) =(n+1)^2 - 1^2 =(n+1)^2 -1 =n^2 +2n
i=1

tambien

n
1 =n
i=1


entonces tenemos

((i+1)^2 -i^2) =2*i + 1

n^2 +2n =2*i + n

esto es

(n^2 +2n -n) =2*i

(n^2 +n ) =2*i

n(n+1) =2*i

n(n+1)/2=i

o sea

n
i = n(n+1)/2
i=1


............................
Por Inducción

condiciones


a) que se cumpla para n=1
b) si se cumple para k entonces se cumple para k+1

demostraremos que se cumplen estas premisas



n
i = n(n+1)/2
i=1

para n=1

1
i = 1 ( por extensión)
i=1

1
i = 1(1+1)/2=1*2/2=1 (por formula)
i=1

se cumple para n=1

ahora demostraremos que si se cumple para n=k tambien se cumple para n=k+1

o sea si

k
i = k(k+1)/2
i=1

entonces

k+1
i = (k+1)(k+2)/2
i=1


veamos

k+1
i =
i=1

k
i + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) =k(k+1)/2 +2(k+1)/2
i=1

=(k(k+1) +2(k+1))/2 =(k+2)(k+1)/2 =(k+1)(k+2)/2


por tanto queda demostrado