Question

Demostración de esta identidad trigonométrica ​

Answer 1

Hola :D

Se nos presenta demostrar la identidad:

$\dfrac{\tan(\theta)-\cot(\theta)}{\tan(\theta)+\cot(\theta)}=2\sin^{2}(\theta)-1$

Primero, vamos a pasar el denominador de la fracción del lado izquierdo al derecho:

$\tan(\theta)-\cot(\theta)=(\tan(\theta)+\cot(\theta))(2\sin^{2}(\theta)-1)$

Expandimos mediante las siguientes identidades:

$\boxed{\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} }\\\boxed{\cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} }$

Tendremos:

$\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}-\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} =(\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)})(2\sin^{2}(\theta)-1)$

Recordemos que la manera de sumar/restar fracciones de diferente numerador es:

$\boxed{\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm cb}{bd} }$

Lo aplicamos:

$\dfrac{\sin^{2}(\theta) -\cos^{2} (\theta)}{\cos(\theta)\sin(\theta)}=(\dfrac{\sin^{2}(\theta) +\cos^{2} (\theta)}{\cos(\theta)\sin(\theta)} )(2\sin^{2}(\theta)-1)\\\texttt{En ambos lados tienen el factor comun} \: \cos(\theta)\sin(\theta)\\\texttt{en el denomindador, por lo que queda:}\\\sin^{2}(\theta)-\cos^{2}(\theta)=(\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta) )(2\sin^{2}-1)$

Ahora, usaremos la siguiente identidad, por si acaso pondré sus respectivos despejes:

$\boxed{\sin^{2}(\theta) + \cos^{2} (\theta) =1}\\\boxed{\sin^{2}(\theta) =1-\cos^{2}(\theta) }\\\boxed{\cos^{2}(\theta) = 1-\sin^{2}(\theta) }$

Tendremos:

$\underbrace{\sin^{2}(\theta)}_{1-\cos^{2}(\theta) }-\cos^{2}(\theta)=(\underbrace{\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)}_{1} )(2\underbrace{\sin^{2}}_{1-\cos^{2}(\theta) }-1)\\1-\cos^{2}(\theta)-\cos^{2} (\theta)=(1)(\underbrace{2(1-\cos^{2}(\theta))}_{\texttt{Propiedad Distributiva}}-1)\\ 1-2\cos^{2}(\theta)=(1)(2 -2\cos^{2}(\theta)-1)\\\boxed{ \boxed{\boldsymbol{1-2\cos^{2}(\theta)= 1-2\cos^{2}(\theta) }}}$

Concluimos que es verdadero.

$\textcolor{red}{\texttt{Moderador\:Grupo\:Rojo}}$