Question

Delia ha iniciado un negocio de venta de quequitos. Para ofrecer sus

productos, debe colocarlos en cajas de cartón de forma de prisma

rectangular. En una fábrica de reciclaje, ella ha comprado carton

rectangular cuyos lados tán en relación de 2 a 3 y se sabe que el

largo excede al ancho en 10 cm. A fin de elaborar las cajas, a dichos

carton se l cortará cuadrados de x centímetros de lado por las

quinas. ¿Cuánto miden los lados de un cartón? ¿Qué exprión algebraica

reprentará el perímetro de la base de las cajas? ¿Y el área de la base?

Answer 1

Para resolver este ejercicio podemos realizar un pequeño esquema del cartón que compró Delia en la fábrica de reciclaje...

En la imagen adjunta podemos ver que tenemos un cartón rectangular que dará origen a las cajas que debe hacer Delia y ahí planteamos tanto la relación 2:3 que tienen los lados del cartón, como el hecho de que desconocemos cuanto miden. Para fines de este ejercicio diremos que el ancho mide Y, y el largo, que excede en 10 cm al ancho, será Y + 10.

Entonces, para saber cuánto miden los lados del cartón, plantearemos un pequeño sistema de ecuaciones en donde vincularemos la relación 2:3 de los lados, y las medidas que desconocemos, pero que establecimos con base en incógnitas.

Si el ancho es el lado más pequeño, lógicamente podemos inferir que equivale a 2 de las "partes" de la relación 2 : 3.. A estas "partes" las llamaremos Z. Además sabemos que el ancho equivale a Y, por tanto tenemos nuestra primera ecuación:

2Z = Y

En el caso del largo, al ser el lado más grande, equivale a 3 "partes" de la relación 2 : 3, y asimismo, sabemos que también equivale a Y + 10, lo que da origen a nuestra segunda ecuación:

3Z = Y + 10

Para resolver el sistema planteado, despejaremos Z de la primera ecuación y reemplazaremos su valor dentro de la segunda ecuación:

2Z = Y

$Z = \frac{Y}{2}$

3Z = Y + 10

3($\frac{Y}{2}$) = Y + 10

3Y = 2(Y + 10)

3Y = 2Y + 20

3Y - 2Y = 20

Y = 20

Por tanto, el ancho del cartón mide 20 cm y por lógica, el largo del cartón mide 30 cm (20 + 10 cm).

Ahora bien... Con respecto a el perímetro de las bases de las cajas, podemos ver en la imagen, que esta base estará formada por la línea punteada, al cortar las esquinas cuadradas de lado X.

Si en cada lado del cartón técnicamente se cortan 2 cuadrados de lado X, y antes de cortarlos, el ancho medía 20 cm, entonces el ancho de la base de la caja será 20 - 2X.

Por su parte, el largo de la base de la caja será 30 - 2X.

Como sabemos que el perímetro es la sumatoria de todos los lados de la figura, y tenemos 2 pares de lados iguales entonces la expresión algebraica que representa el perímetro de la base de la caja será: P = 2(20 - 2X) + 2(30 - 2X)

Finalmente, debemos recordar que la fórmula para el cálculo del área de un rectángulo es Área = Base × Altura, que es igual a Área = Largo × Ancho.

Sustituyendo en la fórmula anterior las expresiones que tenemos de la medida del ancho y el largo de la base de la caja, tenemos que la expresión algebraica que representará el área de la base de la caja es: A = (20 - 2X) × (30 - 2X)

Espero que sea de ayuda!