Question

Del siguiente sistema de ecuaciones encuentre todos los puntos de corte entre ellas:
$\left \{ {{ x^{2} +y^{2}=20} \atop {y= \frac{1}{{2} } x^{2} -7 }} \right.$

Answer 1

Hola, vamos a despejar x² de la primera ecuación:

$x^{2} =20-y^{2}$

luego reemplazo esto en la segunda ecuación:

$y= \frac{1}{2}(20-y^{2})-7 \\ 2y=20-y^{2}-14 \\ y^{2}-2y-6=0$
$y^{2}-2y-6=0 \\ y_{1} =1+ \sqrt{7} \\ y_{2} =1- \sqrt{7}$

Reemplazo estos dos valores en la primera ecuación:

$x^{2} +(1+ \sqrt{7}) ^{2} =20 \\ x^{2} +1+ 2\sqrt{7}+7 =20 \\ x^{2}=2(6-\sqrt{7}) \\ x_{1} = \sqrt{2(6-\sqrt{7}} \\ x_{2} = -\sqrt{2(6-\sqrt{7}}$

$x^{2} +(1- \sqrt{7}) ^{2} =20 \\ x^{2} +1- 2\sqrt{7}+7 =20 \\ x^{2}=2(6+\sqrt{7}) \\ x_{1} = \sqrt{2(6+\sqrt{7})} \\ x_{2} = -\sqrt{2(6+\sqrt{7})}$

Hasta ahí tenemos 4 puntos solución, faltarían dos puntos más ya que al elevar al cuadrado en la primera ecuación se debe probar con el signo negativo los dos casos...

Saludos