Question

Del siguiente hexágono regular,hallar el área de la figura sombreada OPQ​

Answer 1

El área del triángulo sombreado siendo el hexágono que lo incluye regular, es $288\sqrt{3}$.

¿Cómo hallar el área del triángulo sombreado?

Si el hexágono es regular, por una propiedad geométrica del mismo, la diagonal PO Es perpendicular al lado PQ.

Analizando el triángulo isósceles PMO, podemos hallar la longitud de la diagonal PO aplicando la función tangente conociendo el ángulo agudo MPN y la altura MN:

$tan(30\°)=\frac{MN}{PN}\\\\PN=\frac{MN}{tan(30\°)}=MN.\sqrt{3}=12\sqrt{3}\\\\PO=2PN=2.12\sqrt{3}=24\sqrt{3}$

Y utilizando la función seno podemos hallar la medida del lado PM, que es también la del lado PQ:

$sen(30\°)=\frac{MN}{PM}\\\\PM=\frac{MN}{sen(30\°)}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24$

Entonces, el área del triángulo sombreado que tiene como catetos a los segmentos PO y PQ que son base y altura del mismo:

$A=\frac{PQ.PO}{2}=\frac{24.24\sqrt{3}}{2}=288\sqrt{3}$

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