Question

Del gráfico, calcular AD. Si ABCD es un romboide.
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Answer 1

Respuesta:

10

Explicación paso a paso:

Answer 2

Por el Teorema del Seno y el Teorema de Pitágoras se llega a la conclusión que el lado  AD  del romboide mide  10  unidades de longitud.

¿Qué características tiene un romboide?

Un romboide posee las siguientes propiedades:

• Tiene dos pares de lados opuestos, iguales y paralelos entre sí.
• Cada par de ángulos contiguos son suplementarios.
• Tiene dos ángulos agudos y dos obtusos.
• Las bisectrices de los ángulos contiguos son perpendiculares entre sí.
• La suma de todos sus ángulos interiores es igual a 360°.

En base a estas características se han incorporado elementos en la figura anexa:

• El triángulo  ADE  es rectángulo.
• El ángulo en  B  es igual al ángulo en  D. Lo mismo sucede con los ángulos en  A  y  C.
• El lado  CD  mide  5.

¿Podemos aplicar el Teorema del Seno y el Teorema de Pitágoras?

El Teorema del Seno establece la igualdad en las razones entre el seno del ángulo de un vértice y el lado opuesto a este en un triángulo.

$\bold{\dfrac{a}{Sen\alpha}~=~\dfrac{b}{Sen\beta}~=~\dfrac{c}{Sen\gamma}}$

El Teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En el caso estudio, representado en la figura anexa,  se quiere el lado  AD  =  c.  El Teorema de Pitágoras permite

c²  =  a²  +  b²

Con el Teorema del Seno calculamos  a  y  b

$\bold{\dfrac{a}{Sen2\beta}~=~\dfrac{5}{Sen x}}$

$\bold{\dfrac{b}{Sen2\alpha}~=~\dfrac{5}{Sen y}}$

Sabemos que

180°  =  α  +  90°  +  β                ⇒                α  +  β  =  90°                ⇒

β  =  90°  -  α                ⇒                α  =  90°  -  β

180°  =  α  +  x  +  2 β                ⇒                x  =  180°  -  α  -  2 β                ⇒

x  =  180°  -  (α  +  β)  -  β                ⇒            x  =  180°  -  90°  -  β                ⇒

x  =  90°  -  β

180°  =  2 α  +  y  +  β                ⇒                y  =  180°  -  2 α  -  β

y  =  180°  -  (α  +  β)  -  α              ⇒            y  =  180°  -  90°  -  α               ⇒

y  =  90°  -  α

Sustituimos en la expresión del teorema del seno:

$\bold{\dfrac{a}{Sen2\beta}~=~\dfrac{5}{Sen(90^{o}~-~\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad a~=~\dfrac{5\cdot Sen2\beta}{Sen(90^{o}~-~\beta)}}$

$\bold{\dfrac{b}{Sen2\alpha}~=~\dfrac{5}{Sen(90^{o}~-~\alpha)}\qquad\Rightarrow\qquad b~=~\dfrac{5\cdot Sen2\alpha}{Sen(90^{o}~-~\alpha)}}$

De acuerdo con las identidades de ángulo doble y de diferencia de ángulos, tenemos que:

• Sen2α  =  2 Senα Cosα
• Sen2β  =  2 Senβ Cos β
• Sen(90°  -  α)  =  Sen90° Cosα  -  Senα Cos90°  =  Cosα
• Sen(90°  -  β)  =  Sen90° Cosβ  -  Senβ Cos90°  =  Cosβ

$\bold{a~=~\dfrac{5\cdot Sen2\beta}{Sen(90^{o}~-~\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad a~=~\dfrac{5\cdot 2\cdot Sen\beta Cos\beta}{Cos\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad a~=~10\cdot Sen\beta}$

$\bold{a~=~10\cdot Sen(90^{o}~-~\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad a~=~10\cdot Cos\alpha}$

$\bold{b~=~\dfrac{5\cdot Sen2\alpha}{Sen(90^{o}~-~\alpha)}\qquad\Rightarrow\qquad b~=~\dfrac{5\cdot2\cdot Sen\alpha Cos\alpha}{Cos\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad b~=~10\cdot Sen\alpha}$

Finalmente, calculamos  c:

c²  =  a²  +  b²  =  (10 Cosα)²  +  (10 Senα)²              ⇒

c²  =  100 [(Cosα)²  +  (Senα)²]  =  100 (1)  =  100              ⇒              c  =  10

Por el Teorema del Seno y el Teorema de Pitágoras se llega a la conclusión que el lado  AD  del romboide mide  10  unidades de longitud.

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