Question

) Del fondo de un depósito semiesférico , de radio 8 pies , está saliendo agua a razón de 2 pies cúbicos por hora. El depósito estaba lleno en cierto momento. ¿ A qué velocidad cambia el nivel del agua cuando su altura es de 3 pies ? (El volumen de un casquete de altura h en un hemisferio de radio r es πh2 [r – (h/3)]).

Answer 1

El nivel de agua baja a razón de $3,79\times 10^{-4}\frac{ft}{s}$

Explicación paso a paso:

Para hallar la rapidez con la que cambia el nivel de agua en el depósito semiesférico podemos aplicar la regla de la cadena de esta manera:

$\frac{dh}{dt}=\frac{dh}{dV}.\frac{dV}{dt}$

La segunda derivada la tenemos, es la cantidad de agua que va saliendo del recipiente, la segunda la podemos calcular despejando la altura del volumen del casquete esférico que forma el agua:

$V=\pi.h^2(r-\frac{h}{3})\\\\\frac{dV}{dh}=\pi(2h(r-\frac{h}{3})+h^2(-\frac{1}{3}))=\pi(2h.r-\frac{2h^2}{3}-\frac{h^2}{3})\\\\\frac{dV}{dh}=\pi(2h.r-h^2)\\\\\frac{dh}{dV}=\frac{1}{\pi(2hr-h^2)}$

Entonces, cuando la altura es de 3 pies, la rapidez con que esta baja es:

$\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi(2hr-h^2)}.2\frac{ft^3}{s}=\frac{1}{\pi(2.3ft.8ft-(3ft)^2)}.2\frac{ft}{s}\\\\\frac{dh}{dt}=3,79\times 10^{-4}\frac{ft}{s}$