Definición de grupo por los axiomas de grupo
Respuestas a la pregunta
Un grupo es un conjunto en el que se ha definido una operación en las parejas de elementos (denominada por ello operación binaria), que denotaremos por · , de modo que satisfacen los axiomas siguientes:
-La operación es cerrada, esto es, si a, b son elementos del grupo, entonces a · b también lo es. Decimos entonces que el grupo es cerrado bajo la operación.
-La operación es asociativa; esto es si a, b, c son elementos del conjunto, entonces (a · b) · c = a · (b · c). Aquí hemos puesto paréntesis para indicar que en cada lado de la igualdad, primero hay que efectuar esa operación, y luego la siguiente que implica; sin embargo, el contenido de la definición de asociatividad es que los paréntesis son innecesarios en esta fórmula, por lo que usualmente se omiten.
-Existe un elemento, e, llamado neutro o identidad para la operación, y tal que para todo elemento a, se cumple a · e = e · a = a
-Todo elemento a tiene un único elemento inverso, por lo general denotado por a^(-1), tal que a · a^(-1) = a^(-1) · a = e.
Ejemplos de grupos: enteros bajo la suma (identidad: 0, inversos: los negativos), reales distintos de cero (identidad: 1, inversos: los recíprocos).
