Question

define las siglas

a¹
d
an
n
sn​

Answer 1

Respuesta:

Definici´on. La sucesi´on de n´umeros a1, a2, a3, . . . es una progresi´on aritm´etica (P.A.)

si y solo si, la diferencia an − an−1 es constante para todo n = 2, 3, 4, . . .

Nota. La diferencia constante se llama diferencia y se denota por d.

Luego:

a1, a2, a3, . . . es P.A. ⇐⇒ a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = . . . = d

Ejemplos. Estudiar si cada sucesi´on es PA.

a : −3, 1, 5, 9, 13, . . . es P.A., an − an−1 = 4, d = 4.

b : 5, 8, 11, 14, 17, . . . es P.A., bn − bn−1 = 3, d = 3.

s : −

3

2

, −1, −

1

2

, 0,

1

2

, 1, . . . es P.A., sn − sn−1 =

1

2

, d =

1

2

.

c : 5, 3, 2, 0, −1, . . . no es P.A.

Observaciones

Sea a una P.A. con primer t´ermino a1 y diferencia d.

1. Ley de formaci´on o ley de recurrencia: an = an−1 + d, para todo n ≥ 2

2. F´ormula expl´ıcita para el t´ermino general an de la P. A.:

an = a1 + (n − 1)d , para todo n ∈ N

3. F´ormula para la suma de los n primeros t´erminos de la P. A., denotada Sn es:

Sn =

n

2

· (a1 + an) , para todo n ∈ N

Ejemplo. Considerar la sucesi´on a : −3, 1, 5, 9, 13, . . ..

• Esta sucesi´on es una P.A., tal que d = 4.

• Ley de formaci´on o recurrencia: an = an−1 + 4. O, bien; an = an−1 + 4.

• F´ormula expl´ıcita del t´ermino general an:

an = −3 + (n − 1) 4. Luego:

an = 4n − 7, para todo n ∈ N

• F´ormula para la Suma de los n primeros t´erminos de la P. A.: Sn =

n

2

·(a1+an),

para todo n ∈ N. Luego:

Sn =

n

2

· (−3 + (4n − 7))

Sn =

n

2

· (4n − 10)

• Suma de los 100 primeros t´erminos de la P. A.:

S100 =

100

2

· (4(100) − 10) = 19500

Inst. de Matem´atica y F´ısica

Universidad de Talca

1

Matem´atica 1 Unidad 3 CPA

Ejemplo.

1. La media aritm´etica entre 3 y 81 es: m =

3+81

2 =

84

2 = 41

2. Interpolar 3 medios aritm´eticos entre 3 y 81.

Diferencia = d =

81−3

4 =

78

4 =

39

2

Luego, los tres medios aritm´eticos solicitados son:

g1 = 3 + 39

2 =

45

2

, g2 =

45

2 +

39

2 = 42, g3 = 42 + 39

2 =

123

2

.

Ejercicio 1. La sucesi´on a : 100, 97, 94, 91, 88, . . .. es una PA. Determinar si las

siguientes afirmaciones son verdaderas:

a) La diferencia d = −3

b) El t´ermino de lugar 50 es: a50 = −47

c) F´ormula explicita de an: an = 103 − 3n

d) Suma de los 50 primeros terminos de la P.A.: S50 = 1325

e) Suma de los n primeros terminos de la P.A.: Sn =

n

2

(203 − 3n)

Ejercicio 2. Sea a la sucesion definida por an = 5n − 4, para todo n ∈ N.

a) Determinar si es PA. b) Calcular la suma de los 100 primeros t´erminos.

Ejercicio 3. Sea a una PA, tal que a12 = 10, y d = 3.

a) Determinar: a1, y an b) Calcular la suma de los 100 primeros t´erminos.

Explicación paso a paso:

bueno hay esta la respuesta si no te sirve paque lo hice