Question

Debido a vientos predominantes, un árbol creció de tal manera que se ladeo 6 grados de la vertical. A un punto a 45 metros del árbol, el ángulo de elevación a la parte superior del árbol es de 40 grados. Encuentre la altura del árbol.

Answer 1

La altura del árbol inclinado es de aproximadamente 34.90 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura del árbol inclinado, el lado AC (b) que equivale a la distancia desde el pie del árbol hasta cierto punto sobre el suelo. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la proyección visual desde dicho punto sobre el suelo hasta el extremo superior del árbol visto con un ángulo de elevación de 40°  

Donde se pide hallar la altura del árbol inclinado

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo acutángulo ABC

Denotamos al ángulo de elevación dado por enunciado de 40° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 40^o }}$

Hallamos el valor del ángulo C al cual denotamos como γ  - para conocer la inclinación del árbol-

Donde dado que el enunciado no dice otra cosa, consideramos que el árbol tiene un ángulo de inclinación hacia el oriente de 6° respecto a la vertical

Luego sucede que el árbol con tal inclinación se aleja 6° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Por tanto:

Si el árbol no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este problema al inclinarse el árbol en el sentido horario debemos restar la inclinación de 6° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°

Teniendo;

$\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o -\ 6^o = 84^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo B al cual denotamos como β

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 40^o+ 84^o + \beta }}$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 40^o- 84^o }}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 56 ^o }}$

Determinamos la altura del árbol inclinado empleando el teorema del seno

Hallando el valor del lado BC (a)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ a }{ sen(40^o ) } = \frac{ 45 \ metros }{sen(56 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 45\ metros \ . \ sen(40^o ) }{sen(56^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 45\ metros \ . \ 0.642787609687 }{0.829037572555 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 28.925442435915 }{ 0.829037572555 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { a\approx 34.89 \ metros }}$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed { \bold { a \approx 34.90 \ metros }}$

La altura del árbol inclinado es de aproximadamente 34.90 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas