Question

De un resorte de posición vertical que entren un movimiento periódico pende de él una pelota de 60 g del punto de reposo la máxima deformación hay una distancia de 10 cm y se marca un período de 0.8 ciclo.

Determinar:

A) La constante elástica del resorte.
B) la frecuencia.
C) La máxima rapidez que alcanza el resorte.
D) La máxima aceleración. ​

Answer 1

Este oscilador armónico consta de un resorte con constante elástica de 11,8N/m, con una frecuencia de 2,23Hz alcanza una velocidad máxima de 1,4 metros por segundo y una aceleración máxima de 19,7 metros por segundo cuadrado.

Explicación:

Este oscilador armónico puede ser analizado desde el punto de vista de la energía. Suponiendo que esta se conserva en todo momento. En el punto más bajo, el resorte se alarga 10cm absorviendo la energía potencial perdida por la pelota:

$\frac{1}{2}kx^2=mgx$

a) De aquí se puede despejar la constante elástica del resorte como:

$\frac{1}{2}kx=mg\\\\k=\frac{2mg}{x}=\frac{2.0,06kg.9,81\frac{m}{s^2}}{0,1m}\\\\k=11,8\frac{N}{m}$

b) Si planteamos la segunda ley de Newton, queda:

$mg-kx=ma\\m\frac{d^2x}{dt^2}=mg-kx\\\\\frac{k}{m}x=g-\frac{d^2x}{dt^2}$

Ecuación que resolvemos por el método de los coeficientes indeterminados:

$x_h=A_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\\\\x_P=A_1\\\\x=A_1+A_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\\\\\\\frac{k}{m}x=g-\frac{d^2x}{dt^2}\\\\\frac{k}{m}[A_1+A_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)]=g+\frac{k}{m}A_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\\\\\\A_1=\frac{mg}{k}$

Con lo cual queda:

$\sqrt{\frac{k}{m}}=w=2\pi f\\\\f=\frac{\sqrt{\frac{k}{m}}}{2\pi}=\frac{\sqrt{\frac{11,8}{0,06}}}{2\pi}\\\\f=2,23Hz$

c) Volviendo a la energía del sistema, la máxima rapidez se alcanza cuando toda la energía potencial elástica se convierte en energía cinética:

$\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv^2\\\\v=\sqrt{\frac{kA^2}{m}}=\sqrt{\frac{11,8\frac{N}{m}(0,1m)^2}{0,06kg}}=\\\\v=1,4\frac{m}{s}$

d) Si vamos a la ecuación halldad en el punto (b), es la ecuación horaria de posición, al derivarla dos veces obtenemos la ecuación de aceleración:

$x(t)=\frac{mg}{k}+A_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\\\\a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}A_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$

De donde deducimos que la máxima aceleración es:

$a_m=\frac{k}{m}A_0=\frac{11,8\frac{N}{m}}{0,06kg}.0,1m\\\\a_m=19,7\frac{m}{s^2}$