Question

De un paralelogramo ABCD se conocen las coordenadas de tres de sus vértices consecutivos A(1,-1), B(2,0), C(3,5) Comprueba que las diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M, y halla sus ecuaciones.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Si es un paralelogramo entonces la recta BD tiene que ser paralela a AC y la recta AB tiene que ser paralela con CD. Para calcularla se tiene que:

pendiente AB = pendiente CD

pendiente = (y2- y1) / (x2-x1) = ( 0 - [-1] ) / ( 2 - 1) = 1/1 = 1

Entonces D está en el punto (4 , 6)

Las diagonales serán las rectas que conforman AD y CB. La ecuación de la recta es:

y = ax +b ; a = (y2- y1) / (x2-x1) ;  b = y - a*x

AD : a = [ 6 - (-1) ] / ( 4 - 1) = 7/3  

Considerando un punto de la recta, digamos el punto A, se tiene que

y = ax + b

-1 = 7/3*1 + b

b = -1 - 7/3 = -3/3 -7/3 = -10/3

Por lo tanto la recta de la diagonal AD es:  y = 7/3 x -10/3

De forma similar para la diagonal CB se tien que:

a = (5 - 0) / (3-2) = 5/1 = 5

Tomando el punto B se tiene que

y = 5x + b

0 = 5*2 + b = 10 + b

b =  -10

La recta de la diagonal CB será:  y = 5x -10

Ambas rectas se cortarán en el punto (x , y) que las rectas compartan. Esto se obtiene igualando ambas rectas de la siguiente forma:

Recta AD = Recta CB

7/3 x -10/3 = 5x -10

10 - 10/3 = 5x - 7/3 x

30/3 - 10/3 = 15x/3 - 7x/3

20/3 = 8x/3

20*3 / (3*8) = 20/8 = 5/2 = 2.5 = x

Es decir ambas rectas se cortan cuando x tiene el valor de 2.5 , para el cual las rectas tienen el valor

AD :  y(2.5) = 7/3 *5/2 -10/3 = 35/6 - 10/3 = 35/6 -20/6 = 15/6 = 5/2 = 2.5

BC :  y(2.5) = 5*5/2 -10 = 25/2 - 10 = 25/2 - 20/2 = 5/2 = 2.5

Por lo tanto las rectas se cortaran en el punto (2.5 , 2.5)