Question

De todos los triángulos formados por los ejes X y Y cuya hipotenusa pasa por el punto (8/9;3) hallar el que tiene área máxima. Dar la longitud de los catetos y el área máxima.

Answer 1

Las longitudes de los catetos del triángulo de área máxima son 6 y $\frac{16}{9}$ y el área máxima en cuestión es $\frac{16}{3}$.

Explicación paso a paso:

Si la hipotenusa del triángulo formado por los ejes y pasa por el punto (8/9, 3), esa hipotenusa es la recta decreciente que pasa por ese punto, cuya ecuación es:

$ax+by+c=0$

Como tiene que pasar por el punto hacemos:

$a\frac{8}{9}+b.3+c=0\\c=-(\frac{8}{9}a+3b)\\\\ax+by-\frac{8}{9}a-3b=0$

La longitud de los catetos, que son las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes es:

$x=0=>y_0=\frac{\frac{8}{9}a+3b}{b}=\frac{a(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})}{b}\\\\y=0=>x_0=\frac{\frac{8}{9}a+3b}{a}=\frac{a(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})}{a}$

Y el área del triángulo es:

$A=\frac{x_0y_0}{2}=\frac{a^2(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})^2}{2ba}=\frac{(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})^2}{2\frac{b}{a}}$

Podemos hallar el valor de b/a para el cual el área es máxima derivando la expresión respecto de esa variable:

$\frac{dA}{d\frac{b}{a}}=\frac{1}{2}\frac{2(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a}).3\frac{b}{a}-(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})^2}{\frac{b^2}{a^2}}\\\\6\frac{b}{a}(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})-(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})^2=0\\\\\frac{16}{3}\frac{b}{a}+18\frac{b^2}{a^2}-\frac{64}{81}-\frac{16}{3}\frac{b}{a}-9(\frac{b}{a})^2=0\\\\9(\frac{b}{a})^2-\frac{64}{81}=0\\\\(\frac{b}{a})=\sqrt{\frac{64}{9.81}}=\frac{8}{27}\\\\b=\frac{8}{27}a$

Con lo cual, la longitud de los catetos es:

$y_0=\frac{a}{b}(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})=\frac{27}{8}(\frac{8}{9}+3\frac{8}{27})=6\\\\x_0=(\frac{8}{9}+3\frac{b}{a})=(\frac{8}{9}+3\frac{8}{27})=\frac{16}{9}$

Y el área del triángulo es:

$A=\frac{x_0.y_0}{2}=\frac{\frac{16}{9}.6}{2}=\frac{16}{3}$