Question

De todas las primitivas de la función f(x) = 1 +x.|x| , determinar aquella cuya gráfica pasa por el punto (0,1)

Answer 1

La primitiva de la función que pasa por el punto (0,1) es:

$F(x)=\left \{ {{x-\frac{x^3}{3}+1,~~x<0} \atop {x+\frac{x^3}{3}+1,~~x>0}} \right.$

Explicación:

La función planteada puede escribirse como una función definida por ramas:

$f(x)=\left \{ {{y=1-x^2,x<0} \atop {y=1+x^2,x>0}} \right.$

La primitiva es el resultado de integrar la función respecto de x, y es también una función definida por tramos:

$\int\limits^{}_{} {1-x^2} \, dx=x-\frac{x^3}{3}+C,~~x<0\\\\\int\limits^{}_{} {1+x^2} \, dx=x+\frac{x^3}{3}+C,~~x>0$

En estas expresiones vemos claramente que la primitiva que pase por el punto (0,1), es decir, que valga 1 cuando sea x=0 es aquella en la que la constante de integración es C=1.