Question

De ser posibles determine escalares c1,c2 y c3, no todos nulos, de modo que
     [1 ]         [ 1 ]        [ 3]    [ 0]
c1 [ 2] + c2 [ 3] + c3 [ 7] = [ 0]
     [-1 ]        [-2 ]       [ -4]   [ 0]

Answer 1

Bien, lo que necesitas es demostrar primero, si es linealmente dependiente o independiente, para eso lo único que consideramos es justamente lo que tienes publicado,

$\displaystyle c_{1}\left[\begin{array}{rrr}1\\2\\-1\end{array}\right] +c_{2}\left[\begin{array}{rrr}1\\3\\-2\end{array}\right] +c_{3}\left[\begin{array}{rrr}3\\7\\-4\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr}0\\0\\0\end{array}\right]\\\\\\ \left[\begin{array}{rrr}1&1&3\\2&3&7\\-1&-2&-4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr}0\\0\\0\end{array}\right]$

estás dos notaciones son equivalentes, son exactamente lo mismo, es un sistema de la forma Ax=b donde b=0, es decir es un sistema homogéneo, bueno, entonces armamos la matriz ampliada, que consta de los vectores columna una linea vertical y la matriz de término indepndientes que son el vector nulo, en otras palabras,

$\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\2&3&7&0\\-1&-2&-4&0\end{array}\right]$

y mediante operaciones entre filas, debemos reducir la matriz hasta la identidad (de ser posible), entonces empecemos por hacer,

$F_{2}-(2)F_{1}$

$\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\2&3&7&0\\-1&-2&-4&0\end{array}\right]=\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\2-2(1)&3-2(1)&7-2(3)&0\\-1&-2&-4&0\end{array}\right]=\\\\\\\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\-1&-2&-4&0\end{array}\right]$

ahora hagamos,

$F_{3}+F_{1}$

entonces,

$\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\-1&-2&-4&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\-1+1&-2+1&-4+3&0\end{array}\right]=\\\\\\\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\0&-1&-1&0\end{array}\right]$

finalmente podemos hacer,

$F_{2}+F_{3}$

entonces

$\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\0&-1&-1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\0&-1+1&-1+1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr|r}1&1&3&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$

logicamente, nota que las operaciones entre filas, no las he mencionada, para el vector nulo, porque siempre van a seguir siendo cero, cero mas cero, cero menos 2 veces cero, es un cero más elegante pero sigue siendo cero, finalmente nota que, el sistema de ecauoines de tres ecuaciones con tres incógnitas se redujo a un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y eo sabemos que tiene por respuesta INFINITAS SOLUCIONES. entonces, armamos un "patrón" de soluciones, pero primera, armemos las soluciones, supongamos que,

$c_{3}=t$

entonces del segundo renglón que obtuvimos tenemos que,

$(1)c_{2}+(1)c_{3}=0\\c_{2}=-c_{3}=-t\\c_{2}=-t$

y con el primer renglón, tenemos que,

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}-2t\\-t\\t\end{array}\right] =t\left[\begin{array}{ccc}-2\\-1\\1\end{array}\right] \hspace{5mm}\forall t/t\in\Re$

entonces, como nos pide que hallemos los valores de las constantes, basta considerar un valor para t, el que tu quieras...y de ahí encuentras el valor de las constantes, por lo tanto, el sistema depende del valor de un parámetro, por lo tanto es linealmente dependiente¡¡...

hay muchas combinaciones lineales, además del t=0, puede ser t=1, y obtienes sus respectvas constantes.
y eso sería todo espero tes sirva y sit eines alguna duda me avisas
$(1)c_{1}+(1)c_{2}+(3)c_{3}=0\\c_{1}=-c_{2}-3c_{3}=-(-t)-3t=-2t\\c_{1}=-2t$

lo que hemmos hecho, es crear un parámetro, usando a la variable que se eliminó, listo, entonces, las soluciones, serán