Question

De los números de cuatro cifras que se pueden escribir con los diez dígitos, ¿cuántos son de cifras
distintas e inferiores a 8000?

Answer 1

EJERCICIOS  DE  COMBINATORIA

Nos pide contar los números con cifras distintas y que sean inferiores a 8000 (cuatro cifras).

Eso nos obliga a usar como primera cifra de la izquierda (unidades de millar) las que tenemos desde el 1 hasta el 7 (siete cifras)  ya que el cero no es cifra significativa y no puede colocarse como unidades de millar.

Lo que hago es FIJAR en esa primera posición una cualquiera de esas siete cifras, por ejemplo, el 1, y tomar los 9 dígitos restantes (0,2,3,4,5,6,7,8,9),  ya que nos dice que deben ser cifras distintas,  para variarlos de tres en tres que son las posiciones restantes del número inicial.

Y he de tener en cuenta que las cifras no pueden repetirse porque así lo indica el texto del ejercicio.

Tendríamos pues este tipo de modelo combinatorio:

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

DE 9 ELEMENTOS (m)  TOMADOS DE 3 EN 3 (n).

La fórmula por factoriales para este tipo de modelo dice:

$V_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!}$

Sustituyo "m" y "n" por sus valores:

$V_9^3=\dfrac{9!}{(9-3)!}=\dfrac{9*8*7*6!}{6!}=504$

Esa cantidad sería dejando el 1 fijado como unidades de millar pero ahora tengo que repetirlo con el 2, el 3, el 4, el 5, el 6 y el 7 que son las cifras que me garantizan que los números que se generen serán menores a 8000 así que lo único que queda es multiplicar el resultado anterior por 7 y tendremos la solución.

504 × 7 = 3.528 números de cuatro cifras distintas menores a 8.000

Saludos.