Question

De lo alto de un faro se observa un barco con un ángulo de depresion de 37°,ademas el faro mide 12 metros ¿a que distancia del faro, aproximadamente, esta el barco?​

Answer 1

La distancia desde el faro hasta donde se encuentra el barco es de 16 metros      

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde se encuentra el observador en lo alto avistando un barco- , el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta el punto donde se encuentra el barco -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del faro- hasta el barco, el cual es visto con un ángulo de depresión de 37°

Donde se pide hallar:

A qué distancia del faro se encuentra el barco

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 37° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del faro donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 37°

• Altura del faro = 12 metros

• Ángulo de depresión = 37°

• Debemos hallar a qué distancia del faro se encuentra el barco

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del faro- donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 37° y debemos hallar a qué distancia del faro se encuentra el barco- la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde el faro hasta donde se encuentra el barco

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =37^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ del \ faro }{ distancia \ al \ barco } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ barco = \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ barco = \frac{ 12\ m \ }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ barco= 12 \ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ barco = \frac{48 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ barco=16 \ metros } }$

Luego la distancia desde el faro hasta donde se encuentra el barco es de 16 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto