Question

De las siguientes ecuaciones elige la que represente una elipse:
4x2+4y2+2x+2y+16=0
4x2+2x−3y+1=0
4x2−16x+9y2+18y−11=0
2x2+4x+2y2+y−15=0​

Answer 1

De las ecuaciones presentadas tenemos que la ecuación 3 y 4 representa una elipse

Descarte de ecuaciones

Tenemos que la elipse debe estar representada tanto en la variable "x" como "y" de forma cuadrática, entonces tenemos que la ecuación 2 no puede ser una elipse

Completación de cuadrados

Completamos cuadrados para ver cual tiene la forma canónica de la elipse:

1. 4x² + 4y² + 2x + 2y + 16 = 0

(4x² + 2x) + (4y² + 2y) + 16 = 0

4*(x² + 0.5x) + 4*(y² + 0.5y) + 16 = 0

4*(x² + 0.5x +  1/16 - 1/16) + 4*(y² + 0.5y + 1/16 - 1/16) + 16 = 0

4*(x² + 0.5x +  1/16) + 4*(y² + 0.5y + 1/16) + 16 - 1/4 - 1/4 = 0

4*(x + 1/4)² + 4*(y + 1/4)² = -31/2

El término de la derecha es negativo entonces no es una elipse

3. 4x²−16x+9y²+18y−11=0

(4x² - 16x) + (9y² + 18y) - 11= 0

4*(x² + 4x) + 9*(y² + 2y) - 11= 0

4*(x² + 4x + 4 - 4) + 9*(y² + 2y + 1 - 1)- 11 = 0

4*(x² + 4x + 4) + 9*(y² + 2y + 1)  - 11 - 16 - 9 = 0

4*(x + 2)² + 9*(y +1)² = 36

(x + 2)²/9 + (y +1)²/4 = 1. Ecuación canónica de la elipse

4. 2x² + 4x + 2y²+ y - 15

(2x² + 4x) + (2y² + y) - 15 = 0

2*(x² + 2x) + 2*(y² + 0.5y) - 15= 0

2*(x² + 2x + 1 - 1) + 2*(y² + 0.5y + 1/16 - 1/16) - 15 = 0

2*(x² + 2x + 1) + 2*(y² + 0.5y + 1/16)  - 15 - 2 - 1/8 = 0

2*(x + 1)² + 2*(y +1/4)² = 137/8

2*(x + 1)²*8/137 + (y + 1/4)²*8/137 = 1

(x + 1)²/(137/16) + (y + 1/4)²/(137/8) = 1 . Ecuación canónica de la elipse