Question

De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio Vectorial, calcule
7 -9 11
3 4 -1
4 -13 -10
a) Determinante
b) Rango
c) Matriz escalonada usando Gauss Jordan
d) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia Lineal

Answer 1

El determinante de una matriz es una operación realizada sobre matrices cuadradas (Matrices de orden nxn , es decir, mismo número de filas y columnas) y donde el resultado es un número real. 

Existen muchos métodos para encontrar el determinante, pero en especial las matrices de orden 2x2 y 3x3 es sencillo pues existen fórmulas para el cálculo del mismo.

Notación: al determinante de una matriz A se le conoce como |A|

Sea una matriz de orden 3x3 de la siguiente manera:

$\left[\begin{array}{ccc}a11&a12&a13\\a21&a22&a33\\a31&a32&a33\end{array}\right]$

entonces |A|= (a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)-(a13*a22*a31)-(a12*a21*a33)-(a11*a32*a23)

Si el determinante de A es cero significa que uno o mas de los vectores que la conforman (filas o columnas)  dependen linealmente de otro (s)

Rango de una matriz: es el número de columnas linealmente independiente (li) que tiene una matriz, si una matriz de orde nxn, tiene determinante distinto de cero su rango es n.

Notación: al rango de una matriz A se le conoce como rgo(A)

Una matriz escalonada es una matriz donde los elementos que estan por debajo de la diagonal principal son ceros.

Resolviendo el ejercicio:

$A= \left[\begin{array}{ccc}7&-9&11\\3&4&-1\\4&-13&-10\end{array}\right]$

a) Calculo del determinante de la matriz dada:

|A|= (7*4*-10)+(-9*-1*4)+(11*3*-13)-(11*4*4)-(-9*3*-10)-(7*-13*-1) = -280+36-429-176-270-91 = -1210

b) Calculo del rango de una matriz.

Se puede ver que como su determinante es distinto de cero también se puede ver que todas las columnas son linealmente independiente pues si:

a*(7 -9 11) +b*(3 4 -1)+ c(4 -3 -10)= 0

⇒

7a + 3b +4c =0 (1)

-9a+4b-3c=0 (2)

11a- b -10c =0 (3)

Cuya solución única es a=b=c=0

rgo(A)= 3

Matriz escalonada usando Gaus Jordan: 

$\left[\begin{array}{ccc}7&-9&11\\3&4&-1\\4&-13&-10\end{array}\right]$

fila2=$\frac{-3}{7} *f1 + f2$

$\left[\begin{array}{ccc}7&-9&11\\0& \frac{55}{7} & \frac{-40}{7} \\4&-13&-10\end{array}\right]$

fila3=$\frac{-4}{7} *f1 + f3$

$\left[\begin{array}{ccc}7&-9&11\\0& \frac{55}{7} & \frac{-40}{7} \\0& \frac{-55}{7}& \frac{-114}{7}\end{array}\right]$

fila3=1f2+f3

$\left[\begin{array}{ccc}7&-9&11\\0& \frac{55}{7} & \frac{-40}{7} \\0&0&-22\end{array}\right]$

d) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia Lineal

En el primer proceso hay independencia lineal entre los vectores pues el determinante es distinto de cero.

En el segundo proceso como el rango es igual a 3 y la matriz es 3x3 entonces hay independencia lineal.

En el ultimo proceso se observa que hay independencia lineal ya que de lo contrario tendríamos la ultima fila con valores nulos.