Question

De la ciudad A, ubicada en el punto A (20,30)[km], a la ciudad B (−10,n)[km] ubicada en el punto existen 50[km] de distancia. Calcular el valor de n así como la ecuación general de la recta que pasa por las dos ciudades. Tome en cuenta que B está al norte de A.

Answer 1

El valor de n y la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A y B son:

n₁ = 30 + 10√2

$\frac{\sqrt{2} }{30}x +y = \frac{90 + 2\sqrt{2} }{3}$

¿Cómo se calcula la distancia entre dos punto?

La distancia es el módulo de la diferencia entre el punto final y el punto inicial.

$|d|=\sqrt{(x_2-x_1)^{2} + (y_2-y_1)^{2}}$

¿Qué es una ecuación de una recta?

La ecuación de una recta es el mejor ejemplo de una ecuación lineal.

Tiene las siguientes formas:

• Ecuación ordinaria: y = mx + b
• Ecuación punto pendiente: y - y₀ = m(x - x₀)
• Ecuación general: ax + by + c = 0

Una recta se construye con dos puntos pertenecientes a dicha recta o con el valor de la pendiente y un punto.

¿Cuál es el valor de n así como la ecuación general de la recta que pasa por las dos ciudades?

La distancia entre los puntos AB:

• (20, 30)
• (-10, n)
• |AB| = 50

Sustituir;

$50=\sqrt{(-10-20)^{2} + (n-30)^{2}}$

Despejar n;

50² = (-10 - 20)² + (n - 30)²

2500 = (-30)² + n² - 60n + 900

2500 = 900 + n² - 60n + 900

2500 = 1800 + n² - 60n

n² - 60n  + 700 = 0

Aplicar la resolvente;

$n_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}$

Siendo;

• a = 1
• b = -60
• c = 700

Sustituir;

$n_{1,2}=\frac{60\pm\sqrt{60^{2} -4(700)} }{2} \\\\n_{1,2}=\frac{60\pm\sqrt{800} }{2} \\\\n_{1,2}=\frac{60\pm20\sqrt{2} }{2}$

n₁ = 30 + 10√2

n₂ = 30 - 10√2

La ecuación de la recta  que pasa por lo puntos.

$m=\frac{30+\sqrt{2}-30 }{-10-20}\\\\m =-\frac{\sqrt{2} }{30}$

Sustituir;

$y - 30 =-\frac{\sqrt{2} }{30}(x - 20) \\\\y - 30 =-\frac{\sqrt{2} }{30}x + \frac{2\sqrt{2} }{3} \\\\\frac{\sqrt{2} }{30}x +y = \frac{2\sqrt{2} }{3}+30\\\\\frac{\sqrt{2} }{30}x +y = \frac{90 + 2\sqrt{2} }{3}$

Puedes ver más sobre la ecuación de la recta aquí: https://brainly.lat/tarea/11236247