De cuántas formas diferentes puede ser escrita una contraseña usando cuatro dígitos por ejemplo 2244, considerando los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:Son combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4 (sin repetición), que también se escribe como C(10, 4) o “10 sobre 4”
C(10,4)=10!4!∗(10–4)!=10∗9∗8∗74∗3∗2∗1=210
¿Cómo se enumeran esas combinaciones?
Bueno, creo que 210 son muchas para nombrarlas aquí pero diré cómo se hace.
Se empieza por los primeros 4 elementos diferentes, de menor a mayor:
{0, 1, 2, 3}
Se continúa cambiando el último elemento por otro mayor:
{0, 1, 2, 4}
{0, 1, 2, 5}
…
{0, 1, 2, 9}
Cuando se acaban los elementos posibles con esos primeros 3 elementos iguales se cambia uno de esos 3 elementos, el último de los 3, en este caso el 2, por el elemento siguiente:
{0, 1, 3, 4}
Después del 3 va el 4 porque el 2 ya lo hemos usado antes: {0, 1, 3, 2} = {0, 1, 2, 3}
Y se sigue con esos primeros 3 elementos, hasta:
{0, 1, 3, 9}
Cuando ya no se pueden más se cambia otra vez el tercero:
{0, 1, 4, 5}
Y cuando llegas a {0, 1, 8, 9} ya no se pueden más que tengan el 0 y el 1 y hay que cambiar el 1 por el siguiente, el 2.
{0, 2, 3, 4}
Y así…
Cuando no haya más que empiecen por 0 cambias el 0 por un 1:
{1, 2, 3, 4}
Al final llegas a:
{6, 7, 8, 9}
Y ya no puedes hacer más y has terminado.
Este método es lo mismo que contar desde 0001 hasta 9999 pero descartando los números que tengan alguna cifra repetida o que hayas contado antes con las cifras en otro orden.
Descartas 0001 porque tiene ceros repetidos.
Descartas todos los 00xy
Pasas a 01xy descartando los 010y por reptir el 0 y
descartando los de tipo 011y por repetir el 1
Pasas a 012x descartando el 0120, el 0121 y el 0122
y así llegas al primero válido el 0123, también llamado ciento veintitrés.
Luego el 124, 125, 126, 127, 128, 129.
El 130 no vale porque repite el 0, el 131 tampoco vale, y el siguiente es el 132 pero ese es como el 123 pero con las cifras en otro orden : {0, 1, 3, 2} = {0, 1, 2, 3}