Question

De acuerdo a los registros de una agencia de viajes, el 92,5% de los trámites que realizan para la obtención de visas internacional son exitosas. Si el resultado de cada trámite es independiente, y se define a X como el número de trámites exitosos entre 20 registros seleccionados,
a: ¿Cuál es la probabilidad de que, solo 3 de ellos no obtengan la visa internacional?
b:
¿Cuál es la probabilidad de que, menos de 3 de ellos no obtengan la visa internacional?
c: ¿Cuál es la probabilidad de que, solo 3 de ellos obtengan la visa internacional?
d: ¿Cuál es la probabilidad de que, 10 de ellos obtengan la visa internacional?
e:
¿Cuál es la probabilidad de que, todos obtengan la visa internacional?

Answer 1

Hay una probabilidad de 0,1278 de que solo 3 de los trámites no obtengan la visa internacional.

Explicación:

Vamos a considerar que cada trámite, de   n   trámites realizados, es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si el trámite tiene éxito o no en obtener la visa. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.  

Un experimento aleatorio que consiste de   n   ensayos repetidos tales que:  

1. Los ensayos son independientes,  

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y  

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por    p,    permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.  

La variable aleatoria    X    que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros    p    y     n = 1, 2, 3, ...  

La Probabilidad de    X  =  x  es:      

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~p^x~(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

 

donde     $\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})}$    es el número combinatorio:  

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial  

X  =  Número de trámites en la muestra que obtienen la visa  

p  =  0,925 (92,5%)  

n  =  20

a: ¿Cuál es la probabilidad de que, solo 3 de ellos no obtengan la visa internacional?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual a 17:

$\bold{P(x~=~17)~=~(\begin{array}{c}20\\17\end{array})(0,925)^{17}(1-0,925)^{(20-17)}~~\Rightarrow~~P(x~=~17)~=~0,1278}$

Hay una probabilidad de 0,1278 de que solo 3 de los trámites no obtengan la visa internacional.

b: ¿Cuál es la probabilidad de que, menos de 3 de ellos no obtengan la visa internacional?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea igual a 18, 19 o 20:

$\bold{P(x~>~17)~=~P(x~=~18)~+~P(x~=~19)~+~P(x~=~20) \qquad \Rightarrow}$

$\bold{P(x~>~17)~=~P(x~=~18)~+~P(x~=~19)~+~P(x~=~20) \qquad \Rightarrow}$

$\bold{P(x>17)=(\begin{array}{c}20\\18\end{array})(0,925)^{18}(0,075)^2+(\begin{array}{c}20\\19\end{array})(0,925)^{19}(0,075)+(0,925)^{20}~ \Rightarrow}$

$\bold{P(x~>~17)~=~0,2627~+~0,3410~+~0,2103~=~0,8140}$

Hay una probabilidad de  0,8140  de que menos 3 trámites, de la muestra de 20, no obtengan la visa internacional.

c: ¿Cuál es la probabilidad de que, solo 3 de ellos obtengan la visa internacional?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual a 3:

$\bold{P(x~=~3)~=~(\begin{array}{c}20\\17\end{array})~(0,925)^{3}~(1-0,925)^{(20-3)} \quad \Rightarrow\quad P(x~=~3)~=~0,0000}$

Hay una probabilidad de 0,1×10⁻¹⁸ de que solo 3 de los trámites obtengan la visa internacional.

d: ¿Cuál es la probabilidad de que, 10 de ellos obtengan la visa internacional?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual a 10:

$\bold{P(x~=~10)~=~(\begin{array}{c}20\\10\end{array})(0,925)^{10}(1-0,925)^{(20-10)} \quad \Rightarrow\quad P(x~=~10)~=~0,0000}$

Hay una probabilidad de  0,4×10⁻⁸  de que solo 10 de los trámites obtengan la visa internacional.

e: ¿Cuál es la probabilidad de que, todos obtengan la visa internacional?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual a 20:

$\bold{P(x~=~20)~=~(\begin{array}{c}20\\20\end{array})(0,925)^{20}(1-0,925)^{(20-20)} \quad \Rightarrow\quad P(x~=~20)~=~0,2103}$

Hay una probabilidad de 0,2103 de que todos los 20 trámites obtengan la visa internacional.