Question

De acuerdo a la función y=x^4-4x^3+3x^2-3 determina los rangos en donde la función es
creciente y/o decreciente, así como los rangos de concavidad, favor de señalar el tipo de
concavidad que presenta.

Answer 1

La función $y=x^4-4x^3+3x^2-3$ es:

Creciente en los intervalos  (0,$1.5-0.5\sqrt{3}$ ) y ($1.5+0.5\sqrt{3}$,∞+), es decreciente en los intervalos: (-∞,0) y ($1.5-0.5\sqrt{3},  1.5+0.5\sqrt{3}$) .

Es cóncava hacia abajo en el intervalo: ($1-0.5\sqrt{2}$,$1+0.5\sqrt{2}$) y cóncava hacia arriba en:  (-∞,$x= 1-0.5\sqrt{2}$)  y ($1+0.5\sqrt{2}$, ∞+)

¿Por qué?

Función creciente: una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si a medida que x aumenta entonces f(x) también aumenta. x ∈(a,b)

Función decreciente: una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si a medida que x aumenta entonces f(x) disminuye. x∈(a,b)

Concavidad de una función:  una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a,b) si al tomar dos puntos c, d y pasar una recta por ellos esta recta queda por debajo de la gráfica de la función. En caso contrario ( la recta quede por encima de la gráfica de función) decimos que es cóncava hacia arriba.

Criterio de la primera derivada para funciones crecientes y decrecientes: sea f una función continua y derivable en (a,b), entonces si para todo x ∈ (a,b):

f'(x) < 0 la función es decreciente en (a,b).

f'(x) > 0 la función es creciente en (a,b)

Criterio de la segunda derivada para concavidad: sea f una función continua y derivable en (a,b), entonces si para todo x ∈ (a,b):

f''(x) < 0 la función es cóncava hacia abajo en (a,b).

f''(x) > 0 la función es cóncava hacia arriba en (a,b)

Puntos críticos: son aquellos puntos donde la primera derivada de la función es 0, estos puntos pueden ser máximos, mínimos o sillas. Pero lo importante es que en estos puntos es donde cambia una función de creciente a decreciente (o viceversa).

Puntos de inflexión: son los puntos donde la segunda derivada es 0 y en estos puntos cambia la concavidad de la función.

Calculo de la primera derivada:

$y=x^4-4x^3+3x^2-3$

⇒$y'=4x^3-12x^2+6x$

Calculo de los puntos críticos: (igualamos a cero primera derivada)

$y'=4x^3-12x^2+6x = 0$

⇒ $x*(4x^2-12x+6) = 0$

⇒ $x = 0$  ó  $4x^2-12x+6 = 0$

⇒ $x= 0$ ó $x = 1.5-0.5\sqrt{3}$ ≈ $0.63397$ ó

$x = 1.5+0.5\sqrt{3}$ ≈ $2.3660$

Ahora teniendo estos puntos podemos evaluar en puntos intermedios (elegidos aleatoriamente) para determinar si la función es creciente o decreciente, de acuerdo al criterio de la primera derivada.

Observamos en la imagen 1 los intervalos donde la función es creciente y decreciente, obteniendo:

• (-∞,0) es decreciente

• (0,$1.5-0.5\sqrt{3}$ ) es creciente

• ($1.5-0.5\sqrt{3},  1.5+0.5\sqrt{3}$) es decreciente

• ($1.5+0.5\sqrt{3}$,∞+) es creciente

Calculo de la segunda derivada: derivamos la primera derivada

$y''=12x^2-24x+6$

Calculo de los puntos de inflexión: (igualamos a cero segunda derivada)

$y''=12x^2-24x+6 = 0$

$x= 1-0.5\sqrt{2}$ ≈ 0.29289 ó

$x= 1+0.5\sqrt{2}$ ≈ 1.7071

Ahora teniendo estos puntos podemos evaluar en puntos intermedios (elegidos aleatoriamente) para determinar si la función cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, de acuerdo al criterio de la segunda derivada.

Observamos en la imagen 2 los intervalos donde la función es creciente y decreciente, obteniendo:

• (-∞,$x= 1-0.5\sqrt{2}$) es cóncava hacia arriba

• ($1-0.5\sqrt{2}$,$1+0.5\sqrt{2}$) es cóncava hacia abajo

• ($1+0.5\sqrt{2}$, ∞+) es cóncava hacia arriba

Para información adicional puedes consultar:

https://brainly.lat/tarea/9827603