dar dos ejemplos de inecuaciones con valor absoluto uno
de tipo lineal y el otro de tipo cuadrático
Respuestas a la pregunta
Respuesta
Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
Resolver inecuaciones que contienen expresiones con valor absoluto.
Expresar la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto en la forma de intervalo o como conjunto.
Trazar en la recta real la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto.
Introducción
En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En esta sección vamos a ver que la solución de la ecuación ∣ x ∣ = a determina la frontera entre ∣ x ∣ < a y ∣ x ∣ > a Donde x es una variable o una expresión algebráica y a un número real positivo.
El mismo concepto se aplica si se tiene ≤ en lugar del signo < y ≥ en lugar del signo >.
Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ = a , entonces x = a o x = - a .
Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto
Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:
Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
Como intervalo
Como conjunto
Gráficamente
Ejemplos
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14
x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
Intervalo
Punto de Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , 14 )
x = 0 ∣ 0 - 20 ∣ = 20
( 14 , 26 )
x = 15 ∣ 15 - 20 ∣ = 5
( 26 , ∞ )
x = 27 ∣ 27 - 20 ∣ = 7
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .
La solución se puede expresar de distintas formas:
Expresando la solución como conjunto:
x 14 ≤ x ≤ 26
Expresando la solución como intervalo
[ 14 , 26 ]
Gráficamente
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente inecuación ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0
Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la ecuación.
∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ 3 - 4 x ∣ = 9
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
3 - 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4 = - 12 - 4 x = 3
3 - 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 - 4 x - 4 = 6 - 4 x = - 3 2
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
Intervalo
Punto de Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , - 3 2 )
x = -2 ∣ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11
( - 3 2 , 3 )
x = 0 ∣ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3
( 3 , ∞ )
x = 4 ∣ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 9 .
La solución se puede expresar de distintas formas:
Expresando la solución como conjunto:
x x ≤ - 3 2 ó x ≥ 3
Expresando la solución como intervalo
( - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ )
Gráficamente