Question

Dados tres vectores linealmente independientes u,v y w, demostrar que u+v , v+w y w+u son también linealmente independientes.

Answer 1

Si dos vectores no tienen la misma dirección son linealmente independientes, ya que uno de estos vectores no se puede expresar como combinación lineal del otro.

Considerando lo siguiente se puede evaluar si son o no linealmente independiente:

1. Dos vectores  u y v  son linealmente independientes si cualquier combinación lineal de éstos igualada a cero implica que los escalares  y  son nulos:

                                  λu+βv=0 si y solo si λ=β=0

1. Dos vectores  u=(u_1,u_2) y v=(v_1,v_2) son linealmente independientes si:

                                             $\frac{u_1}{v_1} \neq \frac{u_2}{v_2}$

Ahora comprobamos. Sea u=(2,3), v=(1,2) y w=(3,1)

• u+v

$\frac{2}{1}\neq \frac{3}{2}$      si son linealmente independiente

• v+w

$\frac{1}{3}\neq \frac{2}{1}$    si son linealmente independiente

• w+u

λ(3,1)+β(2,3)=3λi+λj+β2i+3βj=(3λ+β2)i+(λ+3β)= esto es cero solo si λ=β=0

si son linealmente independiente