Question

Dados los puntos P(3;-5) y R(-3;1), halle las coordenadas de un punto Q de modo que ls tres sean colineales y además el área del triangulo POQ sea de 12 u (O es el origen de las coordenadas)

Answer 1

Primero como ya nos dan dos puntos..podemos calcular la recta que contiene a esos dos puntos...

Vamos a considerar al punto P como de coordenadas $( x_{1},y_{1} )$ y al punto R como de coordenadas $(x_{2} ,y_{2} )$

$\frac{y- y_{1} }{x-x_{1}} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ \\ \frac{y- (-5) }{x-(3)} = \frac{(1)-(-5)}{(-3)-(3)} = \frac{6}{-6} =-1 \\ \\ \frac{y+5}{x-3} =-1 \\ y+5=-x+3 \\ y=-2-x$

Ya tenemos esa ecuación la vamos a usar luego...Pero primer estás de acuerdo que usando esa ecuación como yo quiera...siempre me va a dar la coordenada de la que yo quiera...estás de acuerdo?...tu silencio significa que sí...ok...

La continuación del ejercicio te lo dejo en la parte de abajo...

Para determinar el área de un triángulo dado sus tres coordenadas es de la siguiente manera

$Area= | \frac{det(Matriz)}{2} |$

Entonces necesitamos hallar el determinante de la matriz...el valor absoluto es solo para asegurarnos que el área sea positiva...

La matriz la hacemos usando las coordenadas que conocemos, LAS TOMAMOS EN SENTIDO ANTIHORARIO EMPEZANDO DESDE DEL PUNTO "P"

$B= \left[\begin{array}{ccc}3&-5&1\\0&0&1\\x&y&1\end{array}\right]$

Les podemos las coordenadas (x,y) porque no conocemos cuales serán...
A ésta matriz la llamaré "B"...y fíjate que aumentamos una tercera columna de "1"..no pasa nada...verdad?...el 1 no altera el producto ...solo es para que sea bonito...ahora resolvemos ese determinante..aumentamos las dos primeras filas al último

(la continuación te la deja en la imagen...es que no tengo que poner en la imagen..jaja..)

En la segunda imagen puedes verificar que el punto que hallamos es el correcto

y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas