Question

Dados los puntos P ( 0 , 4 , -5) Q ( 1 , 9 , 0 ) R ( 4 , 3 , 8 ). Encontrar la ecuación del plano que pasa por estos tres puntos

Answer 1

Respuesta: 70x + 7y - 21z  -133  = 0

                  Al simplificar, la ecuación del plano es 10x + y - 3z - 19 = 0

Explicación paso a paso: Dos vectores del plano buscado son:

PQ = [(1-0) i + (9-4)j + (0-(-5))k]  y PR = [(4-0)i + (3-4)j + (8-(-5))k]

PQ = i  +  5j  + 5k  ;   PR  =  4i  -  j +  13k

Entonces, el vector normal  N  del plano buscado es:

N  = PQ  x  PR =   i        j      k

                             1       5     5

                             4     -1    13

N  =  i [(5.13)- (-1 . 5)]  - j[(1 . 13) - (5 . 4)] + k[(-1.1) - (5 . 4)]

N  = 70i  + 7j - 21k

Si se escoge el tercero de los  puntos dados, entonces un vector  V  genérico del plano es:

V  = (x-4)i + (y-3)j + (z-8)k

Por tanto, la ecuación del plano es:

V . N  = 0 ⇒  [(x-4)i + (y-3)j + (z-8)k] . [70i  + 7j - 21k]  = 0

Entonces, nos queda:

70(x-4) + 7(y-3) - 21(z-8)  = 0

70x - 280 + 7y - 21 - 21z + 168  = 0

70x + 7y - 21z  -133  = 0

Al simplificar, la ecuación del plano es 10x + y - 3z - 19 = 0