Dados los puntos A(3;-2;5), B(7;0;-2) y C(-4;5;0). ¿cuál es el vector perpendicular al triángulo ABC cuyo módulo es igual al semiperímetro de dicho triángulo?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
R=6.9i;-12.03j;7.44k
Explicación:
|AB|=4i;2j;-7k =8.31
|AC|=-7i;7j;-5k =11.1
|BC|=-11i;-5j;2k =12.25
semiperímetro =(l+l+l)/2=15.83
|AB|x|AC| =39i;-69J;42k =89.7
u=(ABxAC)/|AB|x|AC|=(39i;-69J;42k)/89.7
u=0.44i;-0.76j;0.47K
Tenemos en cuneta que en el ejercicio dice que el semiperímetro es igual al modulo.
vector resultante = semiperímetro x (u)
R=15.83(0.44i;-0.76j;0.47K)
R=6.9i;-12.03j;7.44k
El vector perpendicular al triángulo ABC cuyo módulo es igual al semi-perímetro de dicho triángulo es (6.81 i + 12.19 j + 7.44 k) m.
¿Qué es el producto vectorial?
El producto vectorial es una operación entre dos vectores u y v, en donde, el resultado es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
|uxv| = |u|*|v| Senα
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
| i j k |
uxv = | u₁ u₂ u₃ |
| v₁ v₂ v₃ |
¿Qué es un vector unitario?
Un vector unitario es aquel de módulo igual a la unidad; se acostumbra a emplearlo para indicar la dirección y sentido de un vector A, el cual es proporcional al vector u, es decir:
A = |A|*u
El vector unitario en la dirección y sentido de un vector A, se determina al dividir el vector A entre su módulo |A|:
uₐ = A/|A|
Planteamiento.
Se determinan los vectores que forman los lados del triángulo:
AB = (7-3 i, 0-(-2) j, -2-5 k) m
AB = (4 i, 2 j, -7 k) m
BC = (-4-7 i, 5-0 j, 0-(-2) k) m
BC = (-11 i, 5 j, 2 k) m
AC = (-4-3 i, 5-(-2) j, 0-5 k) m
AC = (-7 i, 7 j, -5 k) m
Se determina el módulo de cada vector, que corresponde a la longitud de cada lado del triángulo:
- |AB| = √(4²+2²+(-7)²) = √69 ≈ 8.31 m
- |BC| = √((-11)²+5²+2²) = 5√6 ≈ 12.25 m
- |AC| = √((-7)²+7²+(-5)²) = √123 ≈ 11.09 m
El semi-perímetro del triángulo es:
SP = (8.31+12.25+11.09)/2
SP = 31.65/2
SP = 15.83 m
Se determina el vector perpendicular al triángulo ABC a través del producto vectorial:
| i j k |
P = ABxAC = | 4 2 -7 |
| -7 7 -5 |
P = ABxAC = -10 i +49 j +28 k + 14 k + 49 i + 20 j
P = ABxAC = (-10+49) i + (49+20) j + (28+14) k
P = ABxAC = 39 i + 69 j + 42 k
Se determina el módulo del vector perpendicular:
|P| = √(39²+69²+42²)
|P| = 3√894 ≈ 89.70 m
Se determina el vector unitario del vector perpendicular:
u = (39 i + 69 j + 42 k)/89.7
u = (0.43 i + 0.77 j + 0.47 k)
Para conocer el vector perpendicular cuyo módulo sea igual al semi-perímetro del triángulo se tiene:
Pt = u*SP = (0.43 i + 0.77 j + 0.47 k)*15.83 m
Pt = (6.81 i + 12.19 j + 7.44 k) m
Para conocer más sobre producto vectorial y vector unitario visita:
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