Dados los (-1,2);(0,-1);(2,1).Determina la ecuacion de la parabola que pase por los tres puntos dados y tal que su eje sea paralelo al eje Y
Respuestas a la pregunta
La forma general para este caso es:
x² + a x + b y + c = 0, siendo a, b y c constantes a determinar.
Pasa por:
(-1, 2); 1 - a + 2 b + c = 0
(0, -1); - b + c = 0
(2, 1); 4 + 2 a + b + c = 0
Es un sistema lineal 3 x 3 que supongo sabes resolver.
a = -5/4; b = -3/4; c = -3/4
La ecuación: x² - 5/4 x- 3/4 y - 3/4 = 0; o también:
4 x² - 5 x - 3 y - 3 = 0
Adjunto dibujo a escala con los tres puntos resaltados.
Mateo
La ecuación de una parábola que pasa por tres puntos (-1, 2), (0, -1) y (2, 1), es:
4x² - 5x - 3y - 3 = 0
¿Qué es una parábola?
Es un lugar geométrico equidistante de una recta directriz. Además, está elevado al exponente de grado 2 y se caracteriza por tener los siguientes elementos:
- Vértice: punto de unión de la parábola y el eje focal.
- Foco: es el punto fijo sobre el eje de simetría.
- Directriz: recta equidistante de cualquier punto de la parábola.
- Lado recto: es la resta que tiene una distancia 4p y pasa por el foco.
- Ejes: es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el foco.
Ecuación general de una parábola:
- y = ax²+ bx + c
- x = ay²+ by + c
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Es un arreglo de ecuaciones que se caracteriza por tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.
Existen diferentes métodos para su resolución:
- Sustitución: se despeja de una ecuación una variable, quedando en función de otra, para luego sustituirla en otra ecuación y así obtener el valor.
- Igualación: se despeja la misma variable en dos de las ecuaciones y se igualan los resultados.
- Eliminación: se resta o suman dos ecuaciones para que quede un resultado en función una variable y así despejarla.
- Gráfico: se grafican las rectas y el punto de intersección es la solución del sistema.
¿Cuál es la ecuación de la parábola que pase por los tres puntos dados y tal que su eje sea paralelo al eje y?
Evaluar los puntos en la ecuación general de la parábola.
(-1, 2)
2 = a(-1)² + b(-1) + c
1. a - b + c = 2
(0, -1)
-1 = a(0)² + b(0) + c
2. c = -1
(2, 1)
1 = a(2)² + b(2) + c
3. 4a + 2b + c = 1
Aplicar método de sustitución;
Sustituir c en 1 y 3;
a - b + (-1) = 2
a - b = 3
Despejar a;
a = 3 + b
4a+ 2b - 1 = 1
4a + 2b = 2
Sustituir b;
4(3 + b) + 2b = 2
12 + 4b + 2b = 2
6b = 2 - 12
b = -10/6
b = -5/3
Sustituir b en a;
a = 3 - 5/6
a = 4/3
Sustituir en la a, b y c en la Ec.:
y = 4/3 x² - 5/3 x - 1
Multiplicar por 3;
3y = 4x² - 5x - 3
4x² - 5x - 3y - 3 = 0
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