Dado una esfera de radio R calcule en función de R el radio r y la altura H del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera
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Para resolver este ejercicio planteamos primero el volumen de un cono:
V = 1/3·π·r²·h (1)
Observando la figura adjunta, en el triangulo rectángulo que se forma si aplicamos pitágoras nos queda que:
r² = R² - (h-R)²
r² = 2hR -h² (2)
Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1), entonces:
V = 1/3·π·(2hR-h²)·h
V = 1/3·π· (2h²R-h³) (3)
Derivamos la ecuación (3) respecto al la altura e igualamos a cero.
dV/dh = 1/3·π·(4hR-3h²)
1/3·π·h·(4R-3h) = 0
Se nos presenta dos alternativas
1- h = 0
2- 1/3·π·(4R-3h) = 0 ----------> h = 4/3·R (4)
Ahora en radio de la base del cono será:
r² = R² - (h-R)²
Sabemos que h = 4/3·R
r² = R² - (4/3·R-R)² (5)
Entonces finalmente el volumen será la sustitución de 4 y 5 en 1:
V = 1/3·π·(R² - (4/3·R-R)²)·4/3R
Simplificando queda:
V = (32·π/81)·R³
Para resolver este ejercicio planteamos primero el volumen de un cono:
V = 1/3·π·r²·h (1)
Observando la figura adjunta, en el triangulo rectángulo que se forma si aplicamos pitágoras nos queda que:
r² = R² - (h-R)²
r² = 2hR -h² (2)
Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1), entonces:
V = 1/3·π·(2hR-h²)·h
V = 1/3·π· (2h²R-h³) (3)
Derivamos la ecuación (3) respecto al la altura e igualamos a cero.
dV/dh = 1/3·π·(4hR-3h²)
1/3·π·h·(4R-3h) = 0
Se nos presenta dos alternativas
1- h = 0
2- 1/3·π·(4R-3h) = 0 ----------> h = 4/3·R (4)
Ahora en radio de la base del cono será:
r² = R² - (h-R)²
Sabemos que h = 4/3·R
r² = R² - (4/3·R-R)² (5)
Entonces finalmente el volumen será la sustitución de 4 y 5 en 1:
V = 1/3·π·(R² - (4/3·R-R)²)·4/3R
Simplificando queda:
V = (32·π/81)·R³
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