Question

Dado un Triángulo ABC, con AB = AC sobre éstos lados se toman puntos E y F tales que AE = AF formando los segmentos AEB y AFC y se trazan BF y CE que se cortan en D. Probar que los triángulos BDE y CFD son congruentes y que AD es bisectriz del ángulo A.
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Answer 1

Hola..!! , Veamos

                         TRIÁNGULOS

En la geometría plana es imprescindible saber las propiedades de los triángulos porque gracias a esos es como se construye el respectivo curso para los demás capítulos a mencionar.

$\mathrm{CONSIDERACIONES}:$

                               Incentro de un triángulo

• Es un punto notable  donde se interceptan las bisectrices interiores de un triángulo.

                           Circuncentro de un triángulo

• cuya característica es que las distancias de dicho punto a los vértices del triángulo tienen la misma longitud

                    Características del área de un trapecio

• Las áreas formadas por las intercepciones de las diagonales no adyacentes a las bases  de dicho trapecio  son iguales (demostración en la siguiente tarea: https://brainly.lat/tarea/27046026)

NOTA:

• Si los lados de particionados por un un segmento a un triángulo son proporcionales (cumplen el teorema de Thales) entonces se puede afirmar que dicho segmento que particiona a dos de los lado es paralelo al tercer lado del triángulo.

$\mathbb{EJEMPLO}:$

(De la imagen adjunta)

• Se construye el triángulo con las características de problema
• para afirmar que $\overline{FE}//\overline{CB}$ debemos dividir los lados es decir aplicar el teorema de Thales para verificar que cumplen la proporcionalidad aplicando  $\frac{AF}{FC}= \frac{AE}{EF}$ y efectivamente cumple por tanto podemos afirma lo mencionado anteriormente
• Al afirmar que FE//CB ,EFCB se convierte en un trapecio por lo cual el ΔFCD y ΔEBD tienen la misma área

• Se traza las perpendiculares de "D" hacia los lado AC y AB por lo que consecuentemente se dirán  que son iguales por la siguiente razón : AΔFCD =(m-n).(altura)/2 ; AΔEBD=(m-n).(altura)/2
• Al descubrir que son iguales las alturas queda demostrado que AD es bisectriz del ángulo "A" dado que si asignamos ángulos vamos a poder hacer una congruencia de triángulos (caso-ALA)
• Para demostrar que los triángulos BDE y CFD son congruentes se debe tener en cuenta el punto "D" dado que este no es cualquier punto sino se trata del circuncentro y se puede afirma que es el circuncentro dado que los triángulos ADK y BDL son congruente por lo tanto AD y DB tienen igual longitud (k∈AC y L∈AB)⇒(punto de intercepción de las alturas con los lados) con ello quedaría demostrado tal afirmación

Un cordial saludo