Question

dado $A^{2} = A$, A una matriz compleja de dimensión 14x14, no singular. Hallar el determinante

a) $det(i^{i}A)$

b) $det((-1+i)A)$

Answer 1

Respuesta:

a) $e^{-7\pi }$, aproximadamente $2.81*10^{-10}$

b) 128i

Explicación paso a paso:

1) Primero vamos al planteamiento principal, que es

$A^{2}= A$

sabemos que $A^{2}= AA$

por lo que nos queda que

$AA = A$

como dice que es no singular significa que $det(A)\neq 0$ por lo que existe $A^{-1}$ por lo que podemos multiplicar ambos lados por $A^{-1}$

$AAA^{-1}=AA^{-1}$

sabemos que tambien $AA^{-1} = I$, $I$ la matriz indentidad nos queda

$AI=I$

también sabemos que $AI=I$

por lo que encontramos que A es la matriz indentidad.

por lo que podemos plantear que

a) $det(i^{i}I)$

b)$det((-1+i)I)$

ahora podemos desarollar a) y b) pero tomaremos en cuenta 2 propiedades de determinantes

1. sea $B$ una matriz de nxn y α un escalar $det(\alpha B) =\alpha ^{n}det(B)$
2. $det(I)=1$

ahora podemos desarollar a) y b)

a) tenemos esto $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)$  como $i^{i}$ es un escalar y A es de 14x14 nos queda que  si aplicamos la propiedad 1) $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)$ y ahora temos $det(i)$ podemos aplicar la propiedad 2) nos queda que $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)=(i^{i})^{14}$ por propiedad de potencias $(i^{i})^{14}=i^{14i}$ por lo que llegamos que $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)=(i^{i})^{14}=i^{14i}$.

ya tenemos casi todo terminado ahora debemos desarrollar $i^{14i}$

aplicamos ln para bajar la potencia $14i$ y nos queda que $ln(i)14i$  es decir nos queda que $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)=(i^{i})^{14}=i^{14i}=ln(i)14i$

en un c.aux resolvemos $ln(i)$

tenemos $z=i$, y sabemos que $ln(z)=ln(|Z|)+(\alpha +2k\pi )i$

$|z|=\sqrt{1^{2} } =\sqrt{1}=1$. como tenemos i el complejo se encuentra entre 0 en x y 1 en i, por lo que el ángulo será $\frac{\pi }{2}$

ya tenemos $|Z|$ y $\alpha$ hallaremos el ln(z), vamos a hallar el vp que es con k = 0 nos queda que $ln(z)=ln(1)+(\frac{\pi }{2} +2.0\pi )i=\frac{\pi }{2}i$ así que por esto nos queda que.

$det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)=(i^{i})^{14}=i^{14i}=ln(i)14i=\frac{\pi }{2} i*14i=7\pi i^{2}$ como $i^{2}=-1$ nos queda que $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)=(i^{i})^{14}=i^{14i}=ln(i)14i=\frac{\pi }{2} i*14i=7\pi i^{2}=-7\pi$

pero ahora tenemos que deshacer el ln que aplicamos para eso elevamos a e y nos queda que $det(i^{i}A)=det(i^{i}I)=(i^{i})^{14}det(i)=(i^{i})^{14}=i^{14i}=ln(i)14i=\frac{\pi }{2} i*14i=7\pi i^{2}=-7\pi =e^{-7\pi }$

b) tenemos$det((-1+i)A)=det((-1+i)I)$ como $(-1+i)$ es un escalar y A es de 14x14 nos queda por propiedad 1 que $det((-1+i)A)=det((-1+i)I)=(-1+i)^{14} det(I)$ por propiedad 2) $det((-1+i)A)=det((-1+i)I)=(-1+i)^{14}det(I) =(-1+i)^{14}$

ahora desarrollamos $(-1+i)^{14}$ tenemos $z= -1+i$ y que $z^{n} =|Z|^{n}*e^{i\alpha n}$

$|Z|=\sqrt{a^{2}+b^{2} }$ como a = -1 y b= 1 $|Z|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2} }=\sqrt{1+1} =\sqrt{2}$ y $\alpha =arctg(\frac{b}{a})= arctg(\frac{1}{-1})=-\frac{\pi }{4}$ como a es -1 y b= 1, esta en el segundo cuadrante por lo que le tenemos que sumar $\pi$ nos queda que $\alpha =arctg(\frac{b}{a})= arctg(\frac{1}{-1})=-\frac{\pi }{4} +\pi =\frac{3}{4} \pi$. Ahora sacamos la potencia nos queda que

$z^{14}=(-1+i)^{14} =(\sqrt{2} )^{14}*e^{\frac{3}{4}\pi *14i } =128e^{\frac{21}{2}\pi }$ lo pasemos a la forma binomica y nos queda que $z^{14}=(-1+i)^{14} =(\sqrt{2} )^{14}*e^{\frac{3}{4}\pi *14i } =128e^{\frac{21}{2}\pi }=128(cos(\frac{21}{2}\pi )+sen(\frac{21}{2}\pi )i)=128i$

por lo que finalmente nos queda que $det((-1+i)A)=det((-1+i)I)=(-1+i)^{14}det(I) =(-1+i)^{14}=128i$