Dado R(x) un polinomio Mónico de grado absoluto 5 y que cumple con las siguientes condiciones R(1) = 1, R(2) = 2, R(3)=3, R(4)=4 y R(5)=5. Determine el valor de R(6)
Respuestas a la pregunta
El polinomio mónico R(x) = x⁵ - 15x⁴ + 85x³ - 225x² + 275x - 120 que cumple las condiciones dadas, tiene como valor de R(6) = 126.
¿Qué es un polinomio mónico?
Polinomio mónico es aquel polinomio de variable única en que el coeficiente del término de mayor grado o coeficiente principal es igual a 1.
De acuerdo con esto y el enunciado
R(x) = x⁵ + Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E
Sistema de ecuaciones
Construimos un sistema de ecuaciones, sustituyendo los valores conocidos de x y R(x)
R(1) = (1)⁵ + A(1)⁴ + B(1)³ + C(1)² + D(1) + E = 1
R(2) = (2)⁵ + A(2)⁴ + B(2)³ + C(2)² + D(2) + E = 2
R(3) = (3)⁵ + A(3)⁴ + B(3)³ + C(3)² + D(3) + E = 3
R(4) = (4)⁵ + A(4)⁴ + B(4)³ + C(4)² + D(4) + E = 4
R(5) = (5)⁵ + A(5)⁴ + B(5)³ + C(5)² + D(5) + E = 5
De aquí
A + B + C + D + E = 0
16A + 8B + 4C + 2D + E = -30
81A + 27B + 9C + 3D + E = -240
256A + 64B + 16C + 4D + E = -1020
625A + 125B + 25C + 5D + E = -3120
Vamos a aplicar el método de sustitución, despejando y sustituyendo sucesivamente
E = -A - B - C - D
15A + 7B + 3C + D = -30
80A + 26B + 8C + 2D = -240
255A + 63B + 15C + 3D = -1020
624A + 124B + 24C + 4D = -3120
D = -15A - 7B - 3c - 30
50A + 12B + 2C = -180
210A + 42B + 6C = -930
564A + 96B + 12C = -3000
C = -25A - 6B - 90
60A + 6B = -390
264A + 24B = -1920
B = -10A - 65
24A = -360 ⇒ A = -15 ⇒
B = -10(-15) - 65 = 85
C = -25(-15) - 6(85) - 90 = -225
D = -15(-15) - 7(85) - 3(-225) - 30 = 275
E = -(-15) - (85) - (-225) - (275) = -120
Finalmente
R(x) = x⁵ - 15x⁴ + 85x³ - 225x² + 275x - 120
Ahora calculamos R(6)
R(6) = (6)⁵ - 15(6)⁴ + 85(6)³ - 225(6)² + 275(6) - 120 = 126
El polinomio mónico R(x) = x⁵ - 15x⁴ + 85x³ - 225x² + 275x - 120 que cumple las condiciones dadas, tiene como valor de R(6) a 126.