Question

Dado que f y g son continuas sobre [a, b] de modo que f(a) > g(a) y además f(b) < g(b) demuestre que hay un número c en (a,b) tal que f(c)= g(c).
Sugerencia: Considere la función f-g

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

           Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en [a,b], donde  f(a) < 0 < f(b). Entonces existe un punto c ∈ (a,b) tal que f(c)= 0

Lo que nos dice este teorema es, si tenemos una función continua, en un intervalo [a,b], y esta "f" es negativa en "a" y positiva en "b". Entones debería existir algun punto entre "a" y "b" , donde "f" se haga cero

Lo usaremos para probar el ejercicio

                      Demostración

Sea h(x)= f(x) - g(x),  debemos verificar las condiciones del Teorema de Bolzano.

Sabemos que f(x) y g(x) son continuas (por hipótesis), entonces la resta entre ambos es también continua,  esto implica que h(x) sea una función continua

Por un lado tenemos que:

h(a)= f(a) - g(a)  

Por hipótesis:  f(a) > g(a)   ⇔  f(a) - g(a) > 0

Entonces

h(a)= f(a) - g(a) > 0

Por otro lado

h(b)= f(b) - g(b)

Y por hipótesis f(b) < g(b)  ⇔  f(b) - g(b) < 0

Entonces:

h(b)= f(b) - g(b) < 0

Como h(a) > 0 y h(b) < 0   (tienen el signo distinto) y además h(x) es continua, entonces por el teorema de Bolzano,  va a existir un punto     "c" ∈ (a,b) tal que:

h(c)= 0

Pero:

h(c)= f(c) - g(c) = 0

f(c) = g(c)    Q.E.D

Saludoss