Question

Dado los vértices A(8.-1), B(7.4), C(-3.2). D(2.-3) de un poligono, determinar su área.
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7
46
22​

Answer 1

El área del polígono es de 46 unidades cuadradas

Siendo correcta la tercera opción

Se trata de hallar el área de un polígono en el plano cartesiano, conociendo las coordenadas de sus vértices

En este caso se trata de un cuadrilátero por lo tanto tenemos coordenadas para sus cuatro vértices

Ubicamos en el plano cartesiano los puntos de los vértices del polígono, y luego lo trazamos

Donde para hallar el área del polígono se parte de las coordenadas de los puntos de uno de los vértices y se continúan colocando las coordenadas de los demás puntos en un sentido antihorario o contrario al sentido de las manecillas del reloj para finalizar repitiendo las coordenadas del primer punto o inicial

$\bold{ A =\frac{1}2} {\left[\begin{array}{ccc}x_{1} &y_{1} \\x_{2} &y_{2} \\x_{3} &y_{3} \\x_{4} &y_{4} \\x_{1} &y_{1} \end{array}\right] }$

Donde se toma la primera coordenada x y se la multiplica por la segunda coordenada y, luego se toma la segunda coordenada x y se la multiplica por la tercera coordenada y ,luego se toma la tercera coordenada x y se la multiplica por la cuarta coordenada y para finalizar con la cuarta coordenada x y multiplicarla por la primera coordenada y. Donde de la sumatoria de esos productos se obtendrá un valor

Y se hace el mismo procedimiento tomando la primera coordenada x y se la multiplica por la cuarta coordenada y, luego se toma la cuarta coordenada x y se la multiplica por la tercera coordenada y, luego se toma la tercera coordenada en x y se la multiplica por la segunda coordenada y, para finalmente tomar la segunda coordenada x y se la multiplica por la primera coordenada y. Donde nuevamente la sumatoria de esos productos dará un segundo valor

Donde se restan ambos valores obtenidos, se toma el valor absoluto y se divide entre dos, y se halla el área del polígono

Resultando en:

$\boxed {\bold {A =\frac{ [x_1 y_2+x_2 y_3+x_3 y_4+x_4 y_1 ]- [x_1 y_4+x_4 y_3+ x_3 y_2+x_2 y_1 ] }{2} }}$

Otro método empleado es construir una especie de matriz, apilando las coordenadas de los vértices  y repitiendo el primer vértice al final de la matriz

En donde  

Se trazan diagonales hacia abajo y a la derecha y se multiplica cada par de números conectados por un trazo, en donde se sumarán todos los productos

Y se repite el mismo procedimiento con trazos diagonales desde abajo y hacia la derecha. Donde nuevamente se sumarán todos los productos

Finalmente se halla la diferencia entre ambas cantidades tomando el valor absoluto. Donde dividiendo entre dos se obtiene el área del polígono

Se puede observar este método en el gráfico adjunto.

$A =\dfrac{\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2 \\ x_3 &y_3\\ x_4 & y_4\\ x_1 & y_1 \end{vmatrix}}{2}$

Donde se reemplazarían los valores de los pares ordenados, y se determina el área del polígono

Siendo ambos métodos de resolución válidos

Dados los vértices

$\bold { A(8,-1)\ \ \ \ \to(x_{1} ,y_{1} ) }$

$\bold { B(7,4)\ \ \ \ \ \ \to(x_{2} ,y_{2} ) }$

$\bold { C(-3,2)\ \ \ \ \to(x_{3} ,y_{3} ) }$

$\bold { D(2,-3)\ \ \ \ \to(x_{4} ,y_{4} ) }$

$\boxed {\bold {A =\frac{ [x_1 y_2+x_2 y_3+x_3 y_4+x_4 y_1 ]- [x_1 y_4+x_4 y_3+ x_3 y_2+x_2 y_1 ] }{2} }}$

$\large\textsf{ Reemplazamos los valores}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ [ (8)(4)+(7)(2)+(-3)(-3)+(2)(-1)]- [(8)(-3)+(2)(2)+(-3)(4)+(7)(-1)] }{2} }}$

$\large\textsf{ Operando}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ [32+14+9-2]- [-24+4-12-7] }{2} }}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ [53]- [-39] }{2} }}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ 53+39 }{2} }}$

$\boxed {\bold {A =\frac{ 92 }{2} }}$

$\large\boxed {\bold {Area = 46 \ u^{2} }}$

El área del polígono es de 46 unidades cuadradas