Question

Dado los puntos A(-2,1)y B(1,3) Halla la recta que pasa por A y dista 2 unidades de B

Answer 1

Las dos rectas que cumple con la condición son las rectas $y=1$ y $y=2.4x+5.8$

Una recta que pasa por un punto (xo,yo) y tiene como pendiente "m" tiene como ecuación:

$y-yo = m(x-xo)$

Ahora la distancia entre una recta que tiene como ecuación AX+BY+C = 0 al punto (x1, y1) es:

$d= \frac{|Ax1+By1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2} } }$ (**)

Ahora llamemos L1  a la recta que queremos hallar pasa por A(-2,1) y llamemos a su pendiente "m"entonces la ecuación es:

$y-1 = m(x+2)$

⇒ $y-1= mx+2m$

⇒ $y-1-mx-2m=0$

⇒ $-mx+y+(-2m-1)=0$

Por lo tanto si queremos escribir la ecuación de L1 como AX+BY+C = 0, tenemos que:

A = -m, B= 1 y C=  (-2m-1),

Ahora L1 dista a 2 unidades del punto B(1,3) usando la ecuación (**) sustituimos los valores A, B y C y el punto dado e igualamos a 2:

$2= \frac{|-m*1+1*3-2m-1|}{\sqrt{(-m)^{2}+1^{2} } }$

⇒ $2= \frac{|-m+3-2m-1|}{\sqrt{m^{2}+1}}$

⇒ $2= \frac{|-3m+2|}{\sqrt{m^{2}+1}}$

Elevamos ambos lados al cuadrado

⇒ $2^{2}= (\frac{|-3m+2|}{\sqrt{m^{2}+1}})^{2}$

⇒ $4= (\frac{(|-3m+2|)^{2}}{(\sqrt{m^{2}+1)^{2}}}$

⇒ $4= \frac{(-3m+2)^{2}}{m^{2}+1}$

⇒ $4= \frac{4-12m+9m^{2}}{m^{2}+1}$

⇒ $4m^{2}+4= 4-12m+9m^{2}$

⇒ $-5m^{2}+12m=0$

Si hallamos las raíces del polinomio tenemos:

m = 0  ó m= 2.4

Tomamos las dos reales.

Si m= 0 la ecuación de la recta seria:

$y+(-1)=0$

⇒ $y=1$

Si m = 2.4 La ecuación de la recta es:

$-2.4x+y+(-4.8-1)=0$

⇒ $y=2.4x+5.8$

Por lo tanto las dos rectas que cumple con la condición son las rectas $y=1$ y $y=2.4x+5.8$