Question

Dado estos polinomios A(x) =$x^{3} +3x^{2} +5x+6$ y B(X)=$x^{4} + 3x^{3} + x + a$ . Calcula a sabiendo que el M.C.D son polinomios de segundo grado.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Máximo Común Divisor

Dado los polinomios $A_{(x)} = x^{3} + 3x^{2} +5x+6$ y $B_{(x)} = x^{4} +3x^{3}+x+a$, calcula $a$ sabiendo que el $\textrm{M.C.D}$ contiene polinomios de segundo grado.

RESOLUCIÓN

Empecemos factorizando el polinomio $A_{(x)}$.

$A_{(x)} = x^{3} + 3x^{2} + 5x+6 \\ \\ A_{(x)} = x^{3} + 3x^{2} + 2x + 3x + 6 \\ \\ A_{(x)} = x(x^{2}+3x+2) +3x+6 \\ \\ A_{(x)} = x(x+2)(x+1) +3(x+2) \\ \\ A_{(x)} = (x+2)(x^{2}+x+3)$

Como el máximo común divisor de los polinomios $A_{(x)}$ y $B_{(x)}$ contiene al menos un polinomio de segundo grado, y como existe un solo factor de segundo grado en $A_{(x)}$, necesariamente debe contener a este factor. Como consecuencia $B_{(x)}$ contiene a este mismo factor.

$B_{(x)} \equiv P_{(x)} \cdot (x^{2}+x+3)$

$x^{4} + 3x^{3} + x + a \equiv (x^{2}+ mx + n) \cdot (x^{2}+x+3)$

Nota : Como el coeficiente principal de $B_{(x)}$ es uno y el de $x^{2}+x+3$ también es uno, como consecuencia el coeficiente principal de $P_{(x)}$ es uno.

$x^{4} + 3x^{3} + x + a \equiv (x^{2}+ mx + n) \cdot (x^{2}+x+3)$

$x^{4} + 3x^{3} + x + a \equiv x^{4} + (m+1)x^{3} + (3+m+n)x^{2} + (3m+n)x \\ + 3n$

Identificando obtenemos $m = 2$ y $n = -5$.

El valor de $a$ viene a ser el termino independiente de $B_{(x)}$, el cual es $3n$, es decir, $a = 3n = 3(-5) = -15$.

RESPUESTA

$\boxed{a = -15}$