Question

dado el triángulo oblicuangulo, que contiene los valores de a=6m, angulo b=45° y su ángulo C=105°, por medio de la ley de senos determina el valor del lado b.​

Answer 1

El valor del lado b es de 6√2 metros, expresado en decimal es de 8.49 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: B de 45° y C de 105° como β y γ respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo A al cual denotamos como α  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 45^o+ 105^o+ \alpha }}$

$\boxed {\bold {\alpha = 180^o - 45^o- 105^o }}$

$\large\boxed {\bold {\alpha = 30^o }}$

El valor del ángulo A (α) es de 30°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del lado b (lado AC)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{6 \ metros }{ sen(30 )^o } = \frac{ b }{sen(45)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 6 \ metros \ . \ sen(45 )^o }{sen(30)^o } }}$

Siendo ángulos notables empleamos estos valores

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{2} } { 2 } }$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 6 \ metros \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{\frac{1}{2} } }}$

$\boxed { \bold { b = 6 \ metros \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} \ . \ 2 }}$

$\boxed { \bold { b = 6 \ metros \ . \ \frac{\sqrt{2} }{\not 2} \ . \not 2 }}$

$\large\boxed { \bold { b = 6 \sqrt{2} \ metros }}$

$\boxed { \bold { b \approx 8.4852813\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 8.49\ metros }}$

El valor del lado b es de 6√2 metros, expresado en decimal es de 8.49 metros

Donde operando de manera usual con tu calculadora se tendría

$\boxed { \bold { \frac{6 \ metros }{ sen(30 )^o } = \frac{ b }{sen(45)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 6 \ metros \ . \ sen(45 )^o }{sen(30)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 6 \ metros \ . \ 0.7071067811865 }{0.5 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 4.2426406871192 }{0.5 }\ metros }}$

$\boxed { \bold { b \approx 8.4852813\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 8.49\ metros }}$

Obteniendo el mismo resultado

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los ángulos y los lados planteada