Question

Dado el siguiente Subespacio vectorial.

W= { (x, y, z) |√(x^2 + y^2 + z^2)|; y, z ∈R}
$W= [ (x, y, z); \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ; y,zER]$

Como podria encontrar este Subespacio vectorial dada la condición $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Answer 1

En la descripción da las condiciones del subespacio vectorial, si las planteamos cada una por su lado:

$x = \sqrt{x^{2} +y^{2}+ z^{2} } \\y=y\\z=z$

De ahí despejamos de la primera condición:

$x^{2}  = x^{2} +y^{2}+ z^{2}$

Te queda que es y=z=0, por ende el subespacio sería el eje x. Ahora hay que ver si cumple las condiciones de subespacio que son:

Las combinaciones lineales entre elementos del subespacio tienen que dar elementos del subespacio, o propiedad cerrada de la suma. Sabemos que los vectores son (k, 0, 0), entonces:

$a(k,0,0) + b(k,0,0) = ((a+b)k,0,0)$

La cumple, ahora la multiplicación por un escalar, la multiplicación por un escalar de un vector del subespacio tiene que pertenecer al subespacio:

$m(k,0,0) = (mk, 0,0)$

La cumple.

Por ende, la respuesta es (k,0,0)∈W con k∈R, o en otras palabras el espacio es el eje x