Question

dado el sgte sistema :

sen²x-sen²y=1/5 ..(1)

sen(x+y)=1/2 ....(2)


calcule el valor de cscx.secy

A) 20/9 B) 22/13 C) 1 D)24/15 E)3



resuelva para x ∈ [0,2π] , la ecuación :

(sen3x + 9cos3x + 3)(|senx|-|cosx| ≥ 0

A)<π/4 , 3π/4> B) <-π/2,π/2> C) [π/4,3π/4] U [5π/4 , 7π/4]

D ) [π/6 , 2π/3]



determine el conjunto solución para x al revolver :

$2cos(x+y)+4cos (\frac{x+y}{2} )=1 \\ \\ x-y= \frac{2 \pi }{3} ;$ ∀k ∈ Z


gracias al quien me pueda ayudar

Answer 1

1)

sen²x-sen²y  =$\frac{1}{5}$

recordar :

sen²A-sen²B= sen(A+B)sen(A-B)

sen(x+y)sen(x-y) = $\frac{1}{5}$  ...(1)
   
dato :  sen(x+y)=1/2 

remplazando :
$\frac{1}{2} . sen(x-y) = \frac{1}{5}$

sen(x-y)=$\frac{2}{5}$

ahora :

sen(x-y)= senxcosy-cosxseny         sumando
sen(x+y)=senxcosy+cosxseny
-----------------------------------------
sen(x-y)+sen(x+y)=  2senxcosy
   
$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} =2senx.cosy \\ \\ \frac{9}{10} = 2senxcosy \\ \\ cscx.secy= \frac{20}{9}$



2) imagen 


3)


$2cos (x+y )+4 cos( \frac{x+y}{2} )=1 ..(1)\\ \\ y=x- \frac{2 \pi }{3} ..(2) \\ \\ \\ de-(1) \\ \\ 2(2cos ^{2} ( \frac{x+y}{2})-1)+4cos( \frac{x+y}{2} )=1 \\ \\ 4cos ^{2} ( \frac{x+y}{2}) -2+4cos( \frac{x+y}{2})=1 \\ \\ 4cos ^{2} ( \frac{x+y}{2} )+4cos( \frac{x+y}{2} )-3=0 \\ \\ (2cos( \frac{x+y}{2} )+3)(2cos( \frac{x+y}{2} )-1)=0 \\ \\ queda-como- unica \\ \\ 2cos( \frac{x+y}{2} )-1=0 \\ \\ 2cos( \frac{x+y}{2})=1 \\ \\ cos( \frac{x+y}{2} ) = \frac{1}{2}$

ahora de la ecuación  

x-y= 2π/3
y=x-2π/3


$cos( \frac{x+y}{2} )= \frac{1}{2} \\ \\ cos( \frac{x+x- \frac{2 \pi }{3}}{2} )= \frac{1}{2} \\ \\ cos( \frac{2x- \frac{2 \pi }{3} }{2} )= \frac{1}{2} \\ \\ cos(x- \frac{ \pi }{3} )= \frac{1}{2}$

$x- \frac{ \pi }{3} = 2 k\pi +arccos \frac{1}{2}$

$x- \frac{ \pi }{3}= 2k \pi + \frac{ \pi }{3} \\ x= 2k \pi + \frac{2 \pi }{3} \\ \\ ahora : \\ \\ x+y=4k \pi + \frac{2 \pi }{3} \\ \\ \\ V \\ \\ x+y= 4k \pi - \frac{2 \pi }{3} \\ \\ tambien :$

$x-y= \frac{2 \pi }{3} \\ \\ sumando-ambas-ecuaciones \\ \\ x -pertenece -a \\ \\ 2k \pi + \frac{2 \pi }{3} }/ U /{2k \pi } \\ \\ saludos- ISABELA. (FELICES -FIESTAS)$