Question

Dado el punto P (1;2;1) en metros, externo al plano formado por los puntos A (1;1;0), B (3;1;1), C (0;1;2) en metros. Calcular: A) Uniendo P con A, el ángulo que forma el segmento AP con el plano. B) La distancia del punto P al plano determinado por los puntos A, B y C.

Answer 1

A) El ángulo que forma el segmento AP con el plano es:

     71,56º

B) La distancia del punto P al plano determinado por los puntos A, B y C es:

    2√5 u

¿Qué es un plano?

Un plano se caracteriza por tener dos dimensiones y contener infinitos puntos y rectas.

Con tres puntos se puede definir la ecuación de un plano.

π: Ax + By + Cz + D = 0

¿Qué es un vector?

Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.

V = P₂ - P₁

o

V = |V| Cos(α)

A) ¿Cuál es el ángulo que forman en segmento AP con el plano?

Al pertenecer al plano los puntos A, B y C. El ángulo que forma el vector AB con AP es igual al ángulo que forma el segmento AP con el plano.

Vectores

AB = B - A

AB = (3-1; 1-1; 1-0)

AB = (2, 0, 1)

AP = P - A

AP = (1-1; 2-1; 1-0)

AP = (0, 1, 1)

Aplicar producto escalar para determinar el ángulo entre los vectores;

AP · AB = |AP| |AB| Cos(α)

Despejar α;

$\alpha =Cos^{-1} (\frac{AP . AB}{|AP|.|AB|} )$

Siendo;

|AP| = √[(0)²+(1)²+(1)²] = √2

|AB| =√[(2)²+(0)²+(1)²] = √5

Sustituir;

AP · AB = (0 × 2) + (1 × 0) + (1 × 1) = 1

Sustituir;

$\alpha =Cos^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2}*\sqrt{5} })$

α = 71,56º

B) ¿Cuál es la distancia del punto P al plano?

AC = C - A

AC = (0-1; 1-1; 2-0)

AC = (-1, 0, 2)

Aplicar producto vectorial para hallar la normal del plano;

$ABxAC =\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&0&1\\-1&0&2\end{array}\right]$

AB × AC = (0 - 0)i - (4 + 1)j + (0 - 0)k

AB × AC = (0, -5, 0)

AD = (x-1; y-1; z-0)

π: 0(x-1) + -5(y-1) + 0(z) = 0

π:  -5y + 5 = 0

La distancia entre el punto y el plano.

$d(P, \pi ) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2} +C^{2} } } }$

Sustituir;

$d(P, \pi ) = \frac{|0(1)+2(-5)+0(1)+0(5)|}{\sqrt{0^{2}+(-5)^{2} +0^{2} } } }\\\\d(P, \pi ) = 2\sqrt{5}$

Puedes ver más sobre distancia de un punto a un plano aquí: https://brainly.lat/tarea/10806715

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