Question

Dado el gráfico de la función logarítmica del tipo Y= log3 (x+a) + b. (a) Escriba su ecuación. (b) Diga su dominio, imagen, cero, monotonía

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Answer 1

Tenemos que, dado el gráfico de la función logarítmica del tipo $y = Log_3(x+a) + b$ vamos a obtener las siguientes respuestas

• Pregunta 1: ¿Cuál es su ecuación completa?
  
  Su ecuación completa está dada por $y = Log_3(x-2) + 1$
  
  
• Pregunta 2: ¿Cuál es su comportamiento?
  
  Para analizar su comportamiento debemos considerar, dominio, imagen, cero y monotonía
  
  Por lo tanto, tendremos lo siguiente
  
  La función tiene un dominio de todos los reales positivos mayores a 2, su imagen pertenece a todos los reales, se hace cero en x = 7/3 y su monotonía es una función creciente
  

Procedimiento para estudiar una función logarítmica

Vamos a tomar la función logarítmica que se encuentra dada por el siguiente tipo de forma general

                                        $y = Log_3(x+a) + b$

Ahora analizaremos lo siguiente, en el gráfico tenemos una asíntota vertical en 2, es decir, la función no llega a tomar esos valores porque no está definida, en una función logarítmica cuando no está definida es cuando es igual a cero, por lo tanto, $x+a = x-2$

Ahora, con el valor de b, vemos que la curvatura de inclinación del logaritmo, en su comportamiento natural, se presenta alrededor del 1 y ahora vemos que lo hace en el 2, el factor de $b$ lo que hace es subir o bajar la función, es decir su gráfica

Como resultado $b = 1$ ya que la función está subida una unidad

Es decir, cuando tomamos una expresión general de la forma $y = Log_3(x+a) + b$ el factor de $b$ tiene que ver con subir o bajar la gráfica y el valor de $a$ tiene que ver con mover a la izquierda o a la derecha

En consecuencia, dado el gráfico de la función logarítmica del tipo $y = Log_3(x+a) + b$ vamos a obtener las siguientes respuestas

• Pregunta 1: ¿Cuál es su ecuación completa?
  
  Su ecuación completa está dada por $y = Log_3(x-2) + 1$
  
  
• Pregunta 2: ¿Cuál es su comportamiento?
  
  Para analizar su comportamiento debemos considerar, dominio, imagen, cero y monotonía
  
  Por lo tanto, tendremos lo siguiente
  
  La función tiene un dominio de todos los reales positivos mayores a 2, su imagen pertenece a todos los reales, se hace cero en x = 7/3 y su monotonía es una función creciente
  
  Calculando el cero de la función tendríamos
  
                                 $\log _3\left(x-2\right)+1=0$
                                      $\log _3\left(x-2\right)=-1$
                                          $x-2=\frac{1}{3}$
                                               $x=\frac{7}{3}$
  

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