Dado el ∆ de vértices A(3,-2), B(1, 4) y C(-2,0), calcule el perímetro del ∆ABC, es equilátero, isósceles o escaleno este triángulo?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1Si M_1(2, 1), M_2(3, 3) y M_3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
Solución
1Graficamos los puntos medios del triángulo y representamos los vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)
ejercicios de vectores 1
2De la fórmula de punto medio se obtiene para la primera coordenada
\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{x_1 + x_2}{2} = 6 \\\\ \cfrac{x_2 + x_3}{2} = 2 \\\\ \cfrac{x_1 + x_3}{2} = 3 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = 12 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 + x_3 = 6 \end{array} \right.
Restamos la segunda ecuación de la primera y el resultado lo restamos de la tercera, obteniendo
\begin{array}{rcl}x_1 + x_2 & = & 12 \\ - x_2 - x_3 & = & -4 \\ \hline x_1 - x_3 & = & 8, \end{array}
\begin{array}{rcl}x_1 - x_3 & = & 8 \\ - x_1 - x_3 & = & -6 \\ \hline - 2x_3 & = & 2 \\ x_3 & = & -1 \end{array}
Luego x_1 = 7 y x_2 = 5
3De la fórmula de punto medio se obtiene para la segunda coordenada
\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{y_1 + y_2}{2} = 2 \\\\ \cfrac{y_2 + y_3}{2} = 1 \\\\ \cfrac{y_1 + y_3}{2} = 3 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{l} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = 2 \\ y_1 + y_3 = 6 \end{array} \right.
Restamos la segunda ecuación de la primera y el resultado lo restamos de la tercera, obteniendo
\begin{array}{rcl}y_1 + y_2 & = & 4 \\ - y_2 - y_3 & = & -2 \\ \hline y_1 - y_3 & = & 2, \end{array}
\begin{array}{rcl}y_1 - y_3 & = & 2 \\ - y_1 - y_3 & = & -6 \\ \hline - 2y_3 & = & -4 \\ y_3 & = & 2 \end{array}
Luego y_1 = 4 y y_2 = 0
4Así, los vértices son: A(7, 4), B(5, 0), C(-1, 2)
2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4, 6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro O(1, 2).
3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, −3), B(3, 0), C(0, 1).
4Normalizar los siguientes vectores: \vec{u} = (1, \sqrt{2}), \ \vec{v} = (-4, 3), \ \vec{w} = (6, -8).
5Hallar k si el ángulo que forma \vec{u} = (3, k) con \vec{v} = (2, -1) vale: a) 90^o, b) 0^o, c) 45^
6Calcula la proyección del vector \overrightarrow{AB} sobre el vector \overrightarrow{AC}, siendo A(6, 0), B(3, 5), C(-1, -1).
7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3, 5), B(-2, 0), C(0, -3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6, 0), B(3, 5), C(-1, -1).
9Dados los vectores \vec{u} = (1, 4), \ \vec{v} = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector \vec{w} = (-1, -1).