Dado a su curva x=t, x=t2, z=2/3t3, hallar la curvatura k y la torsión T de la curva
Adjuntos:
Respuestas a la pregunta
Contestado por
2
Veamos.
Sea r(t) = [x(t), y(t), z(t)] el vector posición de un punto de la curva.
Necesitamos la primera, segunda y tercera derivadas de r(t) respecto de t.
r '(t) = (1, 2 t, 2 t^2); r ''(t) = (0, 2, 4 t); r '''(t) = (0, 0, 4)
k = |(r ' x r '')| / |r '|^3, siendo x el símbolo de producto vectorial.
r ' x r '' = (4 t^2, 4 t, 2); |r ' x r ''| = √(16t^4 + 16 t^2 + 4) = 2 (2 t^2 + 1)
|r '|^3 = |√(1 + 4 t^2 + 4 t^4|^3 = (2 t^2 +1)^3
Por lo tanto: k = 2 (2 t^2 + 1) / (2 t^2 + 1)^3 = 2 / (2 t^2 + 1)^2
T = |r ', r '', r ''| / |r ' x r ''|^2 siendo el numerador un producto mixto.
|r ', r '', r '''| = 8
|r ' x r ''|^2 = 4 (2 t^2 + 1)^2
Por lo tanto T = 2 / (2 t^2 + 1)^2
Revisa por si hay errores.
Saludos Herminio
Sea r(t) = [x(t), y(t), z(t)] el vector posición de un punto de la curva.
Necesitamos la primera, segunda y tercera derivadas de r(t) respecto de t.
r '(t) = (1, 2 t, 2 t^2); r ''(t) = (0, 2, 4 t); r '''(t) = (0, 0, 4)
k = |(r ' x r '')| / |r '|^3, siendo x el símbolo de producto vectorial.
r ' x r '' = (4 t^2, 4 t, 2); |r ' x r ''| = √(16t^4 + 16 t^2 + 4) = 2 (2 t^2 + 1)
|r '|^3 = |√(1 + 4 t^2 + 4 t^4|^3 = (2 t^2 +1)^3
Por lo tanto: k = 2 (2 t^2 + 1) / (2 t^2 + 1)^3 = 2 / (2 t^2 + 1)^2
T = |r ', r '', r ''| / |r ' x r ''|^2 siendo el numerador un producto mixto.
|r ', r '', r '''| = 8
|r ' x r ''|^2 = 4 (2 t^2 + 1)^2
Por lo tanto T = 2 / (2 t^2 + 1)^2
Revisa por si hay errores.
Saludos Herminio
Otras preguntas