Question

Dadas las siguientes progresiones (a_n ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión.


Progresión aritmética

a_n={6,1,-4,-9,-14...u_n}


b. Progresión geométrica


a_n={2, 6/5, 18/25, 54/125....u_n}

Answer 1

La suma de las series son -165 y 4.97 respectivamente

Para poder determinar cada una de las sumas, debemos  primero determinar una fórmula cerrada para las sucesiones.

Primer Ejercicio

Es fácil verificar que

$a_n = a_{n-1} - 5$

Por lo que si iteramos múltiples veces, llegamos a lo siguiente

a_n = a_{n-1} - 5 = a_{n-2} - 10 = a_{n-3} - 15 = ...

Por lo que si iteramos n veces, llegamos a que a_n = a_0 - 5n, n ≥ 0

En este caso es preferible que n comience desde 1, por lo que hacemos lo siguiente

a_n = a_0 - 5(n-1) = 5 + a_0 - 5n, n ≥ 1

En el caso específico a_0 = 6, por lo que  se tiene a_n = 11-5n

Habiendo hecho esto, la suma de los m primeros números se puede hacer de la siguiente manera

$\sum_{k = 1}^{m}{11 - 5k} = 11m - 5\sum_{k=1}^{m}{k} = 11m - 5\frac{m(m+1)}{2} = \frac{m}{2}(22-5m - 5)\\\\\sum_{k = 1}^{m}{11 - 5k} = \frac{m(17-5m)}{2}$

haciendo m = 10, obtenemos que la suma de estos elementos es 10*(17-50)/2 = 5*(-33)= - 165

Segundo Ejercicio

En este caso, el patrón de la sucesión es el siguiente:

$a_n = 2(\frac{3}{5})n; n \geq 0$

Por lo que si sumamos los elementos de la sucesión, estaríamos frente a una serie geométrica, lo que implica lo siguiente

$\sum_{k=0}^{m}{2(\frac{3}{5})^k} = 2\sum_{k=0}^{m}{(\frac{3}{5})^k} = 2 \frac{1 - (3/5)^{m+1} }{2/5} = 5(1 - (\frac{3}{5})^{m+1})$

En este caso, tenemos que hacer m = 9, pues estamos contando desde el cero, l que nos da

5(1-(3/5)^(9+1)) = 5(1-3^10/5^10) = (5^10-3^10)/5^9 = 5 - 59.049/1.953.125

Que es aproximadamente 4.97