Dadas las siguientes progresiones (a_n) a partir del enésimo término calcular su término general. progresión arimetica a) (100, 95, 90, 85, ...) progresión geométrica b) (40, 20, 10, 5, ...) De acuerdo con los términos generales (a_n) de las siguientes progresiones: 1.Calcular los (S_n) términos (suma de los términos) donde n sea correspondiente a su edad. 2.Calcular el término 17 de cada una de ellas. 3.Determinar si son crecientes o decrecientes demostrándolo analíticamente.
Respuestas a la pregunta
El termino general an de cada una de las progresiones proporcionadas es : a) an = 105 -5n ; b) an = 40*rⁿ⁻¹.
1. Los valores de Sn términos (suma de los términos) donde n sea correspondiente a su edad son respectivamente :
a) Sn= 57.5 ; Sn== -5/8192
2. El valor del término 17 de cada una de ellas es respectivamente :
a) a₁₇ = 20
b) a₁₇ = 5/8192
3. Son decrecientes las dos progresiones .
En la progresión aritmética : a) (100, 95, 90, 85, ...) y progresión geométrica b) (40, 20, 10, 5, ...) se puede determinar los términos generales de la siguiente manera :
a) 100, 95, 90, 85, ... PA siendo :
r = a2 -a1 = 95-100 = -5
an = a1 + ( n-1 )*r
an = 100 + ( n-1) *-5
an = 100 -5n +5
an = 105 -5n
b) 40, 20, 10, 5, ... PG siendo :
r = a2/a1 = 20 /40 = 1/2
an = a1*rⁿ⁻¹
an = 40*rⁿ⁻¹
1) Para una edad : n = 18
an = 105-5*18 = 15
an= 40*(1/2)¹⁸⁻¹ =5/16384
a) Sn= ( a₁+an)/2 = ( 100 + 15 )/2 = 57.5
b) Sn = a1 *( rⁿ⁻¹ -1) /(r-1 )
S18 = 40*( (1/2)¹⁸⁻¹ )/(1/2-1 ) = -5/8192
2) a) a₁₇ = 100 + ( 17-1)*-5 = 20
b) a₁₇ = 40 *(1/2)¹⁷⁻¹ = 5/8192
3) Las dos progresiones son decrecientes :
a) (100, 95, 90, 85, ...)
a1 = 100 a2 = 95 a3 = 90 a4 = 85
r = -5 la razón es negativa
b) (40, 20, 10, 5, ...)
a1 = 40 a2 = 20 a3 = 10 a4 = 5
r = 1/2 la razón es 1/2
Progresión aritmética
a) (3, 6, 9, 12, ... )
Progresión Geométrica
b) (1, 3, 9, 27, ... )
2. Calcular los (s_{n}) términos (suma de los términos) donde n sea correspondiente a su edad (23 años).
3.Calcular el término 17 de cada una de ellas.
Progresión aritmética
a) an =3n+2
Progresión Geométrica
b) an =1/2^n
5. Dadas las siguientes sucesiones determine (si las tiene) las cotas inferior y superior de la sucesión.
an =1/4^n +3
Progresión aritmética: 100, 95, 90, 85, ...
Una progresión aritmética es una sucesión en la que si restamos dos términos consecutivos de la misma esta diferencia es constante, es decir cada termino se obtiene sumando el anterior por una constante.
El nesimo termino se obtiene con la ecuación:
an = a1 + d*(n-1)
La suma de los primeros n terminos se obtiene con la ecuación
Sn = (a1 + an)*n/2
En este caso: d = - 5, a1 = 100
Término 17:
a17 = 100 - 5*(17 - 1) = 100 - 5*16 = 100 - 80 = 20
Es decreciente: toda sucesión aritmética donde d es negativa será decreciente, pues cada términos es una cantidad menos el anterior
Progresión geométrica 40, 20, 10, 5, ...
Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.
El termino nesimo de una progresión geometrica es:
an = a1*rⁿ⁻¹
La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es:
Sn = (an*r-a1)/(r-1)
En este caso: r = 1/2 a1 = 40
El término 17:
a17 = 40*(1/2)¹⁶ = 0,00061035
Es decreciente: pues toda progresión geométrica con razón entre 0 y 1 (sin incluir) donde el primer término es positivo será decreciente
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