Question

Dadas las siguientes ecuaciones y = 10 - 2x y y = 3x / 2 + 1 identifica ¿cuál es la ecuación de la oferta y cuál es la ecuación de la demanda? Una vez identificadas ambas ecuaciones determina el punto de equilibrio del mercado, utiliza -para resolver el sistema de ecuaciones- el método de la matriz inversa. Por último calcula el excedente del consumidor y el excedente del productor

Answer 1

1) definición de curvas
    demanda: $y=10-2x$ (a mayor precio y menor cantidad demandada x)
    oferta: $y= \frac{3x}{2} +1$ (a mayor precio y mayor cantidad ofrecida x)

2) pto de equilibrio
   $2x+y=10 \\ \frac{-3x}{2}+y=1$
   Matricialmente Ax=B
  
   $A x=B\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\-3/2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}10\\1\end{array}\right]$

donde
$a_{11} =2 ; a_{12} =1; a_{21} =-3/2;a_{22} =1; b_{1} =10; b_{2} =1$
 
despejado x te queda

$\left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]= A^{-1}*B$
$\left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]= \frac{1}{Det[A]} Cof[A]^{T}*B$

Desarrollando te queda

$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \frac{1}{ a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21} } *\left[\begin{array}{ccc}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{array}\right]* \left[\begin{array}{ccc}b_{1}\\b_{2}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}(a_{22}*b_{1}+-a_{12}*b_{2})/(a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}) \\(-a_{21}*b_{1}+a_{11}*b_{2})/(a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21})\end{array}\right]$

como $a_{11} =2 ; a_{12} =1; a_{21} =-3/2;a_{22} =1; b_{1} =10; b_{2} =1$ reemplazando los valores te queda:

$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}(1*10-1*1)/(2*1-1*(-3/2)) \\-(-3/2}*10+2*1)/(2*1-1*(-3/2))\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}9/(7/2) \\17/(7/2)\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}18/7 \\34/7\end{array}\right]$ 

3) excedentes
si gráficas las curvas(ver archivo adjunto), el excedente consumidor y productor son 2 triángulos, por ende usaré la fórmula de área de un triangulo = 1/2*base*altura

$EC= \frac{1}{2}*(10-\frac{34}{7}) * ( \frac{18}{7}) =4,96 aprox.$ 
$EP= \frac{1}{2}*( \frac{34}{7} -1) * ( \frac{18}{7}) =12,49 aprox.$